Question

OBMEP- Digite numa calculadora um número qualquer de 3 algarismos. Em digite o mesmo número,obtendo assim o número de 6 algarismo da forma abcabc. Divida esse número por 7, divida o resultado por 11 e, finalmente divida número obtido por 13. O que aconteceu? Por que você obteve esse resultado?

Answer 1

Para explicar mais facilmente, vamos supor o número escolhido como 900, logo devemos digitar 900900 na calculadora.

A divisão sucessiva por 7, 11 e 13 resulta numa única divisão por 1001. Então, temos a seguinte expressão:

n = 900900/1001

Sabemos que esta divisão resulta em 900, se pegarmos a multiplicação do número inicial por 1001, teremos:

900*1001 = 900*(1000 + 1) = 900000 + 900 = 900900

Note que ao multiplicar por 1000, obtemos um número com 6 algarismos da forma abc000, mas para obter o número de seis algarismos abcabc, temos que somar abc, por isso, a multiplicação por 1001.

O mesmo acontece para números de 4 algarismos abab divididos por 101 ou números de 8 algarismos abcdabcd divididos por 10001 e assim por diante.