Question

(Obmep) A figura mostra um quadrado de lado 1 m dividido em dois retângulos e um quadrado. As áreas do quadrado Qe do retângulo R são iguais. Qual é a área do retângulo 5? a) (√5-2) m² b) 5 R c) (3-√5) m² S Reprodução/OBMEP 2009 d) 1|3 -1/2 m² e) √5 $/m m²

É URGENTEE !!! ​

Answer 1

Digamos que o quadrado Q tem lado $a$. Conforme o enunciado:
$1(1-a) = a^2\\1-a = a^2\\a^2 + a - 1 = 0\\\\\cfrac{-1\pm\sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)} }{2 \cdot 1} \\\\= \cfrac{-1\pm\sqrt{1 + 4} }{2} \\\\= \cfrac{-1\pm\sqrt{5} }{2}$

Por estar tratando com comprimentos, só nos interessa o valor positivo de $a$:

$a = \cfrac{-1 + \sqrt{5} }{2}$

A área do retângulo S é dada por $a(1-a)$. Logo:

$A_S = \cfrac{-1 + \sqrt{5} }{2} \cdot (1 - \cfrac{-1 + \sqrt{5} }{2})\\\\A_S = \cfrac{-1 + \sqrt{5} }{2} \cdot (\cfrac{2}{2} - \cfrac{-1 + \sqrt{5} }{2})\\\\A_S = \cfrac{-1 + \sqrt{5} }{2} \cdot \cfrac{2 -(-1 + \sqrt{5}) }{2}\\\\A_S = \cfrac{-1 + \sqrt{5} }{2} \cdot \cfrac{2 + 1- \sqrt{5} }{2}\\\\A_S = \cfrac{-1 + \sqrt{5} }{2} \cdot \cfrac{3 - \sqrt{5} }{2}\\\\A_S = \cfrac{(-1 + \sqrt{5} )(3- \sqrt{5} )}{4} \\\\A_S = \cfrac{-3 + \sqrt{5 } + 3\sqrt{5} - 5 }{4}$

$A_S = \cfrac{4\sqrt{5} - 8 }{4} \\\\A_S = \cfrac{4\sqrt{5}}{4} - \cfrac{8}{4} \\\\A_S = \sqrt{5} - 2$

√5 - 2