Question

OBMEP 2019
11. A figura mostra um pentágono ABCDE tal que
AB = 4, BC = 8, CD = 1, AE = 4, e os ângulos ABC,
BCD e EAB são retos. O ponto P se move sobre os
lados AB e BC. Quantas posições o ponto P pode
ocupar sobre os lados AB e BC de modo que o triângulo
PDE seja isosceles?
A) 1
B) 2
C) 3
D)4
E)5​

Answer 1

Há 5 formas de formar um triângulo isósceles.

Se AE = 4, então a projeção de EC sobre BC vale 4, como CD = 1, temos que o triângulo retângulo EDF (F é um ponto suporte) tem catetos 3 e 4, logo:

ED² = 3² + 4²

ED = 5

Para que PDE seja isósceles, temos que PD = ED, EP = ED ou PD = PE. Sobre AB, o menor valor de PE é 4 (quando P = A) e o maior é 4√2 (quando P = B), então, há apenas uma forma que criamos um triângulo isósceles sobre AB. Sobre BC acontece o mesmo, mas duas vezes.

Sobre AB, é impossível que PD = ED. Sobre BC, o menor valor de PD é 1 e o maior é √65, logo, o triângulo isósceles acontece uma vez.

Como 4 < PE < 4√2 e 1 < PD < √73, em algum ponto, PD será igual a PE. Ao total, há ao todo 5 formas de formar um triângulo isósceles.

Resposta: E