Question

(OBMEP, 2016) uma função f é tal que f(1-x) + 2f(x) = 3x, para todo x real. qual é o valor de f(0)?
A) - 2 B) -1 C) 0 D) 1 E) 2​

Answer 1

Substituindo 0 no lugar de x, temos:

$\mathsf{f(1-0) + 2f(0) = 3\cdot 0} \implies \\ \implies \mathsf{f(1)+2f(0) =0} \implies \\ \implies \mathsf{2f(0) = -f(1)}$

Para encontrarmos $\mathsf{f(0)}$, precisamos do valor de $\mathsf{f(1)}.$ Então, substituindo 1 no lugar de x, decorre:

$\mathsf{f(1-1)+2f(1) = 3 \cdot 1} \implies \\ \implies \mathsf{f(0) + 2f(1) = 3} \implies \\ \implies \mathsf{f(1)=\dfrac{3-f(0)}{2}}$

Assim,

$\mathsf{2f(0)= -\left(\dfrac{3-f(0)}{2}\right)} \implies \\ \implies \mathsf{2f(0)= \dfrac{-3+f(0)}{2}} \implies \\ \implies \mathsf{4f(0)-f(0)= -3} \implies \\ \implies \mathsf{3f(0)=-3} \implies \mathsf{f(0)= -1}$

Logo, a resposta é alternativa B).