Question

(OBMEP-2016 adaptado) Dois triângulos retângulos, ambos com catetos de medidas 6 cm e 4 cm, são sobrepostos como na figura. Qual é a área do quadrilátero sombreado? a) 14,4 cm² b) 12,4 cm² c) 10,6 cm² d) 9,6 cm²

Answer 1

Observe anexo ao final desta resposta.

Podemos enxergar as hipotenusas dos dois triângulos retângulos como segmentos de reta, cujas equações são simples de obter na forma segmentária:

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Se uma reta $r$ intersecciona o eixo $x$ no ponto $(a,\,0)$ e interseciona o eixo $y$ no ponto $(0,\,b),$

com $a\ne 0$ e $b\ne 0$

então a equação de $r$ na forma segmentária é

$r:~\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1$

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• A reta $s$ intersecciona o eixo $x$ no ponto $(4,\,0),$ e o eixo $y$ no ponto $(0,\,6).$ Logo, a equação de $s$ na forma segmentária é

$s:~\dfrac{x}{4}+\dfrac{y}{6}=1$


• A reta $t$ intersecciona o eixo $x$ no ponto $(6,\,0),$ e o eixo $y$ no ponto $(0,\,4).$ Logo, a equação de $t$ na forma segmentária é

$t:~\dfrac{x}{6}+\dfrac{y}{4}=1$

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• Encontrando a interseção entre as retas $s$ e $t:$

$\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{x}{4}+\dfrac{y}{6}=1\\\\ \dfrac{x}{6}+\dfrac{y}{4}=1 \end{array} \right.$


Para simplificar os denominadores, vamos multiplicar os dois lados das duas equações por 12:

$\left\{ \begin{array}{l} 12\cdot \left(\dfrac{x}{4}+\dfrac{y}{6} \right )=12\\\\ 12\cdot \left(\dfrac{x}{6}+\dfrac{y}{4} \right )=12 \end{array} \right.\\\\\\\\ \left\{ \begin{array}{l} 3x+2y=12\\\\ 2x+3y=12 \end{array} \right.$


Agora, multiplique a 1ª equação por 2, e multiplique a 2ª equação por (– 3):

$\left\{ \begin{array}{rcr} 6x+4y&\!\!=\!\!&24\\\\ -6x-9y&\!\!=\!\!&-36 \end{array} \right.$


Somando as duas equações, membro a membro, ficamos com

$4y-9y=24-36\\\\ -5y=-12\\\\ y=\dfrac{-12}{-5}\\\\\\ y=\dfrac{12}{5}\\\\\\\boxed{\begin{array}{c}y=2,\!4\mathrm{~cm} \end{array}}$


Por simetria (tanto geométrica quanto do próprio sistema de equações), também podemos concluir que

$\boxed{\begin{array}{c}x=2,\!4\mathrm{~cm} \end{array}}$


Então as hipotenusas se interseccionam no ponto $(2,\!4\,;\,2,\!4).$

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• O quadrilátero sombreado pode ser decomposto em dois triângulos congruentes, com base $4\mathrm{~cm}$ e altura $2,\!4\mathrm{~cm}.$


A área do quadrilátero sombreado é a área desses dois triângulos juntos:

$A=2\cdot \left(\dfrac{b\cdot h}{2} \right )\\\\\\ A=b\cdot h\\\\ A=4\cdot 2,\!4\\\\ \boxed{\begin{array}{c}A=9,\!6\mathrm{~cm^2} \end{array}}$


Resposta: alternativa $\text{d) }9,\!6\mathrm{~cm^2}.$


Bons estudos! :-)