Question

(OBM) Na tabela a seguir, a partir da segunda linha, o número escrito na coluna X é igual ao produto dos números da linha anterior e o número escrito na coluna Y é igual ao quociente do número escrito na coluna X da linha anterior pelo número da coluna Y da linha anterior.



a) Quais são os dois números que aparecem na décima linha? Você pode apresentar a sua resposta usando potências.

b) Qual é a soma dos números que aparecem na linha 2 013? Você pode apresentar a sua resposta usando potências.

Answer 1

Na décima linha os valores de X e Y são iguais a $2^{16}$ (256), e a soma dos números na linha 2013 é igual a $2^{2^{1006}}$ + 1.

Vamos entender a lógica por trás desse exercício. Olhando a imagem abaixo nós vemos que um padrão se repete principalmente no valor de Y nas posições ímpares, ele sempre vale 1!!!

Além disso, nas posições pares o X e o Y têm o mesmo valor.

Se olharmos nas posições pares os números usando potências percebemos que os expoentes também seguem um padrão:

$posicao2 = 2^{2} \\\\ posicao4 = 2^{4} \\\\posicao6 = 2^{8} \\\\posicao8 = 2^{16}...$

O expoente é uma sequência que leva em consideração o número da posição, ou seja, se a posição for 4, por exemplo, o expoente será igual a:

$2^{((posicao-2) / 2)}\\2^{((4-2) / 2)}\\ 2^{(2 / 2)}\\ 2^{1}$

Sendo assim, a fórmula que vai definir o X em uma posição par será:

$2^{2^{((posicao-2) / 2)}}$

Mas, se olharmos para a posição 1, veremos que essa fórmula só funcionaria caso o expoente fosse $2^{((posicao-1) / 2)}$. Portanto, a fórmula que vai definir o X em uma posição ímpar será:

$2^{2^{((posicao-1) / 2)}}$

Desse modo, na 10º posição, por ser par, o X e o Y terá o mesmo valor que será:

$2^{2^{((posicao-2) / 2)}}\\\\2^{2^{((10-2) / 2)}}\\\\2^{2^{(8 / 2)}}\\\\2^{2^{4}}\\\\\2^{16}$

E na linha 2013, já sabemos que somente por ser uma linha ímpar o Y é igual a 1, e o X é igual a:

$2^{2^{((posicao-1) / 2)}}\\\\2^{2^{((2013-1) / 2)}}\\\\2^{2^{(2012 / 2)}}\\\\2^{2^{1006}}$

Como o exercício pede a soma entre X e Y da linha 2013, o valor seria $2^{2^{1006}}$ + 1.