(OBM 2020) Seja ABC um triângulo acutângulo, e D um ponto sobre BC tal que AD e perpendicular a BC. A bissetriz do
ângulo ZDAC intersecta o segmento DC em E. Seja F o ponto sobre a reta AE tal que BF é perpendicular a AE.
Se ZBAE = 45°, calcule a medida do ângulo 2BFC.
Soluções para a tarefa
Olá.
Observe que ∠AFB = 90° = ∠ADB, logo, AFDB é cíclico, e deste fato temos que ∠ABF = ∠ADF = 45°.
Mas veja que ∠ADF = 45° => ∠FDE = 90° - 45° = 45° => ∠ADF = ∠FDE, logo DF é bissetriz de ∠ADC, mas AF é bissetriz de ∠DAC, então segue que F é incentro de ΔADC (Incentro: encontro das bissetrizes internas do triângulo), logo, FC é bissetriz de ∠ACD.
Soma dos ângulos internos de ΔAFC : ∠DAC/2 + ∠ACD/2 + ∠AFC = 180° (i). Soma dos ângulos internos de ΔADC: ∠ADC + ∠DAC + ∠ADC = 90° + ∠DAC + ∠ADC = 180° => ∠DAC + ∠ADC = 90°(ii).
De (i) e (ii) temos que ∠AFC = 135°, e portanto ∠BFC = 360° - 90° - 135° = 135°
A medida do ângulo 2BFC será de: 135°
O que é trigonometria?
A trigonometria é a vertente da matemática que estuda os triângulos e mais precisamente as relações existentes entre seus ângulos e lados. A mesma possui três ângulos, sendo: Seno, Cosseno e Tangente.
Então sabemos que ∠AFB = 90° = ∠ADB, o que nos possibilita afirmar que AFDB é cíclico, enquanto que ∠ABF = ∠ADF = 45°. Além de que o Enunciado nos informa que DF será Bissetriz de ∠ADC, enquanto que AF será bissetriz de ∠DAC.
PS: ∠ADF : 45° >>> ∠FDE = 90° - 45° = 45° >>> ∠ADF : ∠FDE.
Portanto, quando realizarmos a soma dos ângulos internos de ambos teremos para ΔAFC e ΔADC respectivamente:
- ΔAF = ∠DAC/2 + ∠ACD/2 + ∠AFC = 180° (I).
- ΔADC = ∠ADC + ∠DAC + ∠ADC = 90° + ∠DAC + ∠ADC = 180° ;
- ΔADC = ∠DAC + ∠ADC = 90°(II)
Ao fizermos o produto de um pelo o outro tendo em mente que ∠AFC será igual a 135°, encontraremos que:
∠BFC = 360° - 90° - 135°
∠BFC = 135°.
Para saber mais sobre trigonometria:
https://brainly.com.br/tarefa/31639567
Espero ter ajudado nos estudos e bebam água :)
