Question

(OBM/ 2007) As equações do 2o grau 2007x2 + 2008x + 1 =0 e x2 + 2008x +2007 = 0 têm uma raiz comum.
Qual é o valor do produto das duas raízes que não são comuns?
a. 0
b. 2007
c. 1
d. 2008
e. 2006

Answer 1

$2007x^2 + 2008x + 1 =0 \\ \\ x= \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 -4 \cdot a \cdot c} }{2 \cdot a} \\ \\ x= \dfrac{-2008 \pm \sqrt{2008^2 -4 \cdot 2007 \cdot 1} }{2 \cdot 2007} \\ \\ x= \dfrac{-2008 \pm \sqrt{4032064 -8028} }{4014} \\ \\ x= \dfrac{-2008 \pm \sqrt{4024036} }{4014} \\ \\ x= \dfrac{-2008 \pm \sqrt{4024036} }{4014} \\ \\ x= \dfrac{-2008 \pm 2006}{4014} \\ \\ x_1= \dfrac{-2008 + 2006 }{4014}= \dfrac{-2}{4014}=- \dfrac{1}{2007} \\ \\ x_2= \dfrac{-2008 - 2006 }{4014} =\dfrac{-4014}{4014}=-1$

------------------------------------------------------------------------------------------------------

$x^2 + 2008x +2007 = 0 \\ \\ x= \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 -4 \cdot a \cdot c} }{2 \cdot a} \\ \\ x= \dfrac{-2008 \pm \sqrt{2008^2 -4 \cdot 1 \cdot 2007} }{2 \cdot 1} \\ \\ x= \dfrac{-2008 \pm \sqrt{4032064 -8028} }{2} \\ \\ x= \dfrac{-2008 \pm \sqrt{4032064 -8028} }{2} \\ \\ x= \dfrac{-2008 \pm \sqrt{4024036} }{2} \\ \\ x= \dfrac{-2008 \pm 2006}{2} \\ \\ x_3= \dfrac{-2008 + 2006}{2} = \dfrac{-2}{2}=-1 \\ \\ x_4= \dfrac{-2008 - 2006}{2} = \dfrac{-4014}{2}=-2007$


Produto das duas raízes que não são comuns:

$x_1 \cdot x_4 \\ \\ - \dfrac{1}{2007} \cdot (-2007) \\ \\ +1$


Resposta: c. 1 



Bons estudos!

Answer 2

Boa tarde

Temos  x²+2008x+2007=0 ⇒ (x+1)(x+2007)=0 ⇒x+1=0  ou x+2007 = 0    e 

 as raízes  x' = -1  e  x''= -2007

Na outra equação   2007x²+2008x+1=0    temos 

Δ = 2008² - 4 * 1 *2007   ⇒ Δ = (2007+1)² - 4*2007

Δ = 2007² +2*2007 +1 -4*2007 ⇒ Δ = 2007² -2*2007 +1

Δ = (2007-1)²  ⇒ Δ = 2006²        e    √Δ = √ (2006)²  ⇒  √Δ=2006

Resolvendo a equação ;

$x= \dfrac{-2008\pm \sqrt{ 2006^{2} } }{2*2007} = \dfrac{-2008\pm 2006}{2*2007} \\ \\ \\ x'= \dfrac{-2008-2006}{2*2007} = \dfrac{-4014}{2*2007} =-1 \\ \\ \\ x''= \dfrac{-2008+2006}{2*2007} = \dfrac{-2}{2*2007} =- \dfrac{1}{2007}$

As duas raízes diferentes são    -2007   e   - 1 / 2007

$(-2007)*(- \dfrac{1}{2007} )= 1$

Resposta :  letra c.    [   1   ]