Question

O2. Uma empresa produz um determinado produto com o custo definido pela
a quantidade de unidades produzidas, determine a quantidade de unidades
para que o custo seja minimo e o valor desse custo minimo

Answer 1

O número de unidades produzidas para que haja o custo mínimo é de 1400, e o valor do custo é de 40 reais.

Função do segundo grau

Temos que, uma função do segundo grau se caracteriza pelo formato:

$\boxed{y=ax^2+bx+c}$

Onde, a, b e c são constantes.

Graficamente, tais funções determinam uma parábola, podendo ter sua concavidade para cima (a positivo) ou para baixo (a negativo).
No caso da questão, temos que:

a=1;
b=-80;
c=3000.

Portanto, temos uma concavidade para cima, e, portanto, um valor de mínimo para esta função.

Para encontrá-lo, temos a seguinte equação:

$\boxed{y_v=\frac{-b}{2a}}$

Aplicando os dados, temos:

$y_v=80/2*1=40$

Que é o valor de custo mínimo.

Agora, para encontrar a quantidade de unidades para o tal custo, tem-se a equação:

$\boxed{x_v=\frac{- \Delta}{4a}}\\\\\\\boxed{\Delta=b^2-4ac}$

Aplicando:

$x_v=\frac{-(-80)^2-4*1*3000}{4*1}=1400$

Portanto:
Unidades para o custo mínimo: 1400
Custo mínimo: 40 reais

Abaixo, a questão completa:

"Uma empresa produz um determinado produto com o custo definido pela seguinte função C(x) = x² – 80x + 3000. Considerando o custo C em reais e x a quantidade de unidades produzidas, determine a quantidade de unidades para que o custo seja mínimo e o valor desse custo mínimo."

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