Question

O volume V e o raio r da base de um cone circular reto estão variando a taxas constantes de 0,1 pi m^3/s e 0,2 m/s, respectivamente. Expresse dh/dt em termos de r e h, onde h é a altura do cone.

Answer 1

O volume do cone é dado por:

$V~=~\frac{A_b\,.\,h}{3}\\\\\\Onde~~A_b~=~\pi\,.\,r^2$

Isolando a altura "h" nesta equação, temos:

$h~=~\frac{3V}{\pi\,.\,r^2}$

Vamos então calcular a derivada de h em relação ao tempo "t", utilizando a regra da cadeia:

$\frac{h(V,r)}{dt}~=~\frac{dh}{dV}\,.\,\frac{dV}{dt}~+~\frac{dh}{dr}\,.\,\frac{dr}{dt}\\\\\\\frac{h(V,r)}{dt}~=~\frac{3}{\pi\,.\,r^2}\,.\,0,1\pi~+~\frac{-2\pi r\,.\,3V}{(\pi r^2)^2}\,.\,0,2\\\\\\\frac{h(V,r)}{dt}~=~\frac{3\,.\,0,1\pi}{\pi r^2}~+~\frac{-2\pi r\,.\,3.\left(\frac{h\,.\,\pi r^2}{3}\right)~.~0,2}{\pi^2r^4}\\\\\\\frac{h(V,r)}{dt}~=~\frac{0,3}{r^2}~+~\frac{-2\pi^2r^3h~.~0,2}{\pi^2r^4}\\\\\\\frac{h(V,r)}{dt}~=~\frac{0,3}{r^2}~+~\frac{-0,4rh}{r^2}$

$\boxed{\frac{h(V,r)}{dt}~=~\frac{0,3\,-\,0,4rh}{r^2}}$