Question

O volume gerado pela rotação torno do eixo dos x do gráfico de uma função y = f(x) num intervalo [a,b], é dado po v = pi. integral a, b y^2dx. sendo
assim, calcule o volume solido de revolução gerado pela função y=raiz de x em torno do eixo x, no intervalo x pertence [0,2] .
a- 8pi
b-5pi
c- 2pi
d- 4pi

Answer 1

Como foi dito, o volume de um sólido gerado pela rotação do gráfico de uma função y = f(x) em torno do eixo x limitado pelas retas x = a e x = b é dado por

$\boxed{\boxed{V=\pi\int\limits_{a}^{b}[f(x)]^{2}dx}}$
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$f(x)=\sqrt{x}$

Encontramos o volume do sólido gerado pela rotação do gráfico de f(x) = √x em torno do eixo x, no intervalo [0,2], calculando a seguinte integral definida:

$V=\pi\displaystyle\int\limits_{0}^{2}(\sqrt{x})^{2}dx\\\\\\V=\pi\int\limits_{0}^{2}|x|dx$

Como x ≥ 0 no intervalo [0,2], |x| = x:

$V=\displaystyle\pi\int\limits_{0}^{2}xdx\\\\\\V=\pi\left[\dfrac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{2}\\\\\\V=\pi\left(\dfrac{2^{2}}{2}-\dfrac{0^{2}}{2}\right)\\\\\\V=\pi(2-0)\\\\\\\boxed{\boxed{V=2\pi~u.v}}$

Letra C