Question

O volume gerado pela rotação torno do eixo dos x do gráfico de uma função y = f(x) num intervalo [a,b], é dado por v = pi. integral a, b y^2dx. Sendo assim, a função y = x gera com essa rotação e para XE [1,3] um solido de volume.

1) 16 pi / 3
2) 8 pi
3) 8 pi / 3
4) 10 pi

Escolha uma:
A resposta correta é a II.
A resposta correta é a IV.
A resposta correta é a I.
A resposta correta é a III.

Respondi mas estou em dúvida,poderiam me ajudar?

Answer 1

$\boxed{\boxed{V=\pi\int\limits_{a}^{b}[f(x)]^{2}dx}}$

Teorema Fundamental do Cálculo:

$\boxed{\boxed{\int\limits_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)=F(x)|_{a}^{b}}}$

Integral de potências de x:

$\boxed{\boxed{\int x^{n}dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+constante~~~~(sendo~n\neq-1)}}$
________________________________

Sendo f(x) = x, temos que:

$V=\pi\int\limits_{1}^{3}x^{2}dx\\\\\\V=\pi\left(\left\dfrac{x^{2+1}}{2+1}\right|_{1}^{3}\right)\\\\\\V=\pi\left(\left\dfrac{x^{3}}{3}\right|_{1}^{3}\right)\\\\\\V=\pi\cdot\left(\dfrac{3^{3}}{3}-\dfrac{1^{3}}{3}\right)\\\\\\V=\pi\cdot\dfrac{27-1}{3}\\\\\\\boxed{\boxed{V=\dfrac{26\pi}{3}}}$

Resposta: I.