Question

O volume gerado pela rotação em torno do eixo do x do gráfico de uma função y = f(x) num intervalo [a,b], é dado por V = r. $\int\limits^a_b {x} \, dx$b a y^2.dx. Sendo assim, a função y = 3x gera com essa rotação e para x pertence [0, 2] um sólido de volume:

a) 45 [tex] \pi
b) 36 [tex] \pi
c) 57 [tex] \pi
d) 24 [tex] \pi

Answer 1

o volume gerado ao rotacionar em torno do eixo x
é dado por:
$\boxed{\boxed{V=\pi* \int\limits^a_b {[f(x)]^2} \, dx }}$

f(x) = função -> y= 3x
ab = intervalo = [0,2] 

então temos
$V=\pi* \int\limits^2_0 {(3x)^2} \, dx \\\\\ V= \pi *\int\limits^2_0 {9x^2} \, dx\\\\\\\\ \boxed{V=\pi*9*\int\limits^2_0 {x^2} \, dx}$

resolvendo a integral
$\int\limits^2_0 {x^2} \, dx = \frac{x^3}{3} |^2_0= ( \frac{2^3}{3}- \frac{0^3}{3)}= \frac{8}{3}$

agora temos
$V=9\pi* \frac{8}{3} =3\pi*8 \\\\V=24\pi$