Question

O volume dos sólidos de revolução são obtidos girando o gráfico de uma função em torno de um dos eixos canônicos utilizando integrais. Vamos supor que uma função qualquer f(x), girando-a com relação ao eixo x, obteremos um objeto de formato arredondado. Realizando um corte em qualquer ponto xi, obteremos um círculo de raio f(xi) e, portanto, a área será dada por:

A= π( fxi)²

O volume V de um sólido de revolução, obtido com a rotação em torno do eixo x da região entre a reta y = 0 e o gráfico de uma função f para o intervalo a ≤ x ≤ b é dado por:

V = ∫ ba A(x) dx = ∫ ba π( f(x))² dx

De acordo com o enunciado, responda a questão abaixo:

O "nariz" de um foguete é um paraboloide obtido girando-se a curva y=\sqrt{x}, no intervalo 0 ≤ x ≤ 5 conforme a figura. DETERMINE o volume desse sólido, considerando \pi=3,14:

Answer 1

Com o estudo sobre sólidos temos que $\mathrm{O\:volume\:de\:um\:solido\:de\:revolucao\:da\:curva}\:f\left(x\right)=\sqrt{x}\:\mathrm{em\:torno\:do}\\\:\mathrm{}\:eixo\:\:\mathrm{x}\:\mathrm{no\:intervalo}\:\left[0,\:5\right]:\quad \frac{25\pi }{2}\quad \left(\mathrm{Decimal:\quad }\:39.26990\dots \right)$

Volume

A grandeza utilizada para representar o espaço ocupado por um poliedro é chamada volume. Para se calcular o volume de um cubo podemos imaginar várias folhas de papel quadradas idênticas, empilhadas umas sobre as outras, até formarem uma altura igual à medida do lado da folha de papel que as compõe.

Podemos perceber que as folhas empilhadas formam um cubo totalmente preenchido no seu interior, cuja medida de sua aresta será chamada de a. O volume que essas folhas ocupam no espaço nada mais é do que a soma de todas as área desses papeis. Desconsiderando os pequenos espaços existentes entre duas folhas, o seu volume é dado por: V = A . h

• V: volume
• A: área da base
• h: altura

Com essa ideia primitiva de volume vamos resolver o problema proposto.

O volume de um sólido de revolução da curva é o volume do objeto determinado pela curva f(x) girando em torno no eixo x em um intervalo [a, b] dado por

• $V=\int _a^b\pi \left(f\left(x\right)\right)^2dx$

Aplicando a fórmula, teremos: $\int _0^5\pi \left\left(x\right\right)dx=\frac{25\pi }{2}$

$\mathrm{O\:volume\:de\:um\:solido\:de\:revolucao\:da\:curva}\:f\left(x\right)=\sqrt{x}\:\mathrm{em\:torno\:do}\\\:\mathrm{}\:eixo\:\:\mathrm{x}\:\mathrm{no\:intervalo}\:\left[0,\:5\right]:\quad \frac{25\pi }{2}\quad \left(\mathrm{Decimal:\quad }\:39.26990\dots \right)$

Observação: O paraboloide encontra-se em anexo.

Saiba mais sobre volume: https://brainly.com.br/tarefa/38414713

#SPJ1