Question

O volume do sólido obtido girando-se, em relação aos eixos x, a região limitada pelas retas y=0, x=0, x= 2 e y=x+4

Answer 1

Observe a image que eu anexei. A regão considerada é a região sombreada e a rotação em relação ao eixo $x$ cria uma cópia espelhada embaixo.

Perceba que eu desenhei um disco. Esse disco é um elemento de volume que podemos decompor o sólido gerado pela rotação. Ele é basicamente um cilindro bem fino com raio $r$ e espessura $dx$.

O raio $r$ é variável. Perceba que ele uma função de x.

Veja que no gráfico o raio começa no eixo $x$ e termina na reta $y=x+4$.

Com isso, se começarmos em x=0 e irmos até x=2 o raio segue a função $r=x+4$.

Podemos dividir o nosso sólido em discos extremamente finos, calcular o volume deles e somar tudo no final.

Temos que o volume de um desses tais discos em função de $x$ será:

$dV=\pi(x+4)^2dx$, usando a fórmula do volume do cilindro.

Com isso, podemos fazer a integral:

$\displaystyle{\int dV=\int^2_0 \pi(x+4)^2 dx}$

$\displaystyle{V=\pi\int^2_0 (x^2+8x+16)dx}$

$\displaystyle{V=\pi\left[ \frac{1}{3}x^3+4x^2+16x\right]^2_0}$

$\displaystyle{V=\pi\left[ \frac{1}{3}\cdot2^3+4\cdot2^2+16\cdot2\right]=\pi\left[ \frac{8}{3}+16+32\right]}$

$\displaystyle{V= \boxed{\frac{152}{3}\pi}}$