Question

O volume do sólido obtido girando-se em relação ao eixo x, a região limitadas pelas retas y=0, x=0, x=3 e y=x+2 é:

Answer 1

Alguém sabe a resposta
também estou querendo essa questão

poderia por favor postar a conta.....plesss

Answer 2

A imagem delimitada por essas retas é um trapézio com as medidas iguais a:

Base maior do trapézio = 5
Pontos: (3;0) até (3;5)

Base menor do trapézio = 2
Pontos: (0;0) até (0;2)

Altura do trapézio = 3
Pontos: (0;0) até (3;0)


Girando essa imagem em relação ao eixo X, você obtém um tronco de um cone (um cone sem a parte de cima, sem a parte pontuda).


As dimensões do tronco do cone são:

Área da base maior do tronco de cone:
$Ab = \pi . R^{2} = \pi . 5^{2} = 25 \pi$
Sendo que o raio (R) da base maior é a medida da base maior do trapézio.

Área da base menor do tronco de cone:
$Abm = \pi . r^{2} = \pi . 2^{2} =4 \pi$
Sendo que o raio (r) da base menor é a medida da base menor do trapézio.

Altura do tronco de cone:
h = 3
A mesma altura do trapézio.


Existe uma fórmula para calcular o volume do tronco de cone:
$V = \frac{ \pi .h}{3} .( r^{2} +r.R + R^{2} ) = \frac{ \pi .3}{3} .( 2^{2} +2.5 + 5^{2} )= \pi (4+10+25) = 39 \pi$


Se você não souber essa fórmula, você pode achar o volume, pegando o volume do cone inteiro menos o volume da parte que foi tirada (do cone menor), explicado abaixo.


As dimensões do cone inteiro são:

Área da base do cone inteiro:
$Ab' = \pi . R^{2} = \pi . 5^{2} =25 \pi$
A mesma área da base maior do tronco de cone (Ab) já que é a mesma base.

Altura do cone inteiro:
Para achar a altura do cone inteiro, você tem que achar onde a reta y=x+2 encosta no eixo x (onde y=0). Logo, 0=x+2 <=> x=-2
Então a altura do cone vai ponto (3;0) que é onde esta a base, até o (-2;0) que á a ponta do cone.
Então, h' = 5.

Volume do cone:
$V' = \frac{1}{3} .Ab'.h'= \frac{1}{3} .25 \pi .5= \frac{125 \pi }{3}$


As dimensões do cone menor (que é formado da área da base menor do tronco de cone até a ponta do cone inteiro) são:

Área da base do cone menor:
$Ab''= \pi .r^{2} = \pi . 2^{2} =4 \pi$
A mesma área da base menor do tronco de cone (Abm) já que é a mesma base.

Altura do cone menor:
A altura do cone menor vai ponto (0;0) que é onde esta a base, até o (-2;0) que á a ponta do cone.
Então, h'' = 2.

Volume do cone menor:
$V'' = \frac{1}{3} .Ab''.h''= \frac{1}{3} .4 \pi .2= \frac{8 \pi }{3}$


O volume do tronco de cone será o volume do tronco inteiro menos o volume do cone menor:
$V = V' - V'' = \frac{125 \pi }{3} - \frac{8 \pi }{3} = \frac{117 \pi }{3} =39 \pi$


Obs: não leva unidade, porque o exercício não forneceu em que unidade está.


Resposta: $39 \pi$