Question

O volume do sólido obtido girando-se em relação ao eixo x, a região limitada pelas retas v=0, x=0, x=2 e v=x+3 é:
a) 62pi/3 u.v.
b) 35pi u.v.
c) 98pi/3 u.v.
d) 78pi/3 u.v.
e) 42pi u.v.

Answer 1

Calculando pelo método do anel,

v = π(R²-r²)h

Onde, R é a função superior, já r é a inferior.

v seria apenas um pedaço infinitamente pequeno e h é uma altura também pequeno, porém desejamos o solido inteiro

V = ∑ π(R²-r²)dx

$V = \int\limits^b_a { \pi (F(x)^2-G(x)^2)} \, dx$

Com, 0 ≤ x  ≤ 2

E 

f(x) = y+3
G(x) = 0

Assim teremos:

$\\ V = \pi \int\limits^2_0 {(x+3)^2-0} \, dx \\ \\ V = \pi \int\limits^2_0 {(x+3)^2} \, dx$

Fazendo, x+3 =u

u = x+3

du = dx
----------------------

Substituindo x = 0 e x = 2 em "u"

u = x+3

u = 0+3

u = 3
-------------

u = x+3

u = 2+3

u = 5

logo,

$\\ V = \pi \int\limits^5_3 {(u)^2} \, du \\ \\ V = \pi ( \frac{u^3}{3} )|(3,5) \\ \\ V = \pi ( \frac{5^3}{3} - \frac{3^3}{3} ) \\ \\ V = \pi ( \frac{125-27}{3} ) \\ \\ V = \frac{98 \pi }{3} u.v$

Answer 2

O volume do sólido obtido girando-se em relação ao eixo x, a região limitada pelas retas y = 0, x = 0, x = 2 e y = x + 3 é 98π/3 u.v.

A região que devemos rotacionar em relação ao eixo x está em destaque na figura abaixo.

Para calcular o volume, vamos utilizar o método de Discos ou Arruelas.

Observe que os limites de integração serão x = 0 e x = 2.

Além disso, temos que x + 3 - 0 = x + 3.

Então, a integral definida será da forma: $\pi \int\limits^2_0 {(x+3)^2} \, dx$.

Para (x + 3)², utilizaremos o quadrado da soma, ou seja, (x + 3)² = x² + 6x + 9.

Logo, devemos calcular a seguinte integral:

$V=\pi \int\limits^2_0 {x^2+6x+9} \, dx$

$V = \pi(\frac{x^3}{3}+3x^2+9x)$.

Substituindo os limites de integração, obtemos o seguinte valor:

V = π(2³/3 + 3.2² + 9.2) - π(0³/3 + 3.0² + 9.0)

V = π(8/3 + 3.4 + 18)

V = π(8/3 + 12 + 18)

V = π(8/3 + 30)

V = 98π/3.

Portanto, o volume do sólido formado é igual a 98π/3 unidades de volume.

Alternativa correta: letra c).

Para mais informações sobre integral: https://brainly.com.br/tarefa/18781040