Question

O volume do sólido no primeiro octante, limitado pelo cilindro {x^2} + {y^2} = 1 e o plano z = x é igual a

Escolha uma:
a. 2/5
b. 1/3
c. 3/4
d. 1
e. 1/2

Answer 1

Resposta:

B

Explicação passo-a-passo:

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O volume de um sólido pode ser calculado por uma integral tripla da função constante. Podemos escrever:

$\boxed{\mathsf{V=\displaystyle \iiint_R1\,dV}}$

1. Faça a parametrização da região de integração usando coordenadas cilíndricas:

$\mathsf{x=r\,cos\,\theta}\\\\\mathsf{y=r\,sen\,\theta}\\\\\mathsf{z=z}$

2. Determine os limites de integração. Lembre-se que o sólido está no primeiro octante (veja figura abaixo), logo:

$\mathsf{0\leq r \leq 1}\\\\\mathsf{0\leq \theta \leq \dfrac{\pi}{2}}\\\\\mathsf{0\leq z \leq x}\quad\rightarrow\quad\mathsf{0\leq z \leq r\,cos\,\theta}$

3. Calcule o jacobiano:

$\mathsf{J(r,\theta,z)}=\left|\begin{array}{ccc}\mathsf{cos\,\theta}&\mathsf{sen\,\theta}&\mathsf{0}\\-\mathsf{r\,sen\,\theta}&\mathsf{r\,cos\,\theta}&\mathsf{0}\\\mathsf{0}&\mathsf{0}&\mathsf{1}\end{array}\right| =\mathsf{r}$

4. Substitua tudo e avalie a integral:

$\mathsf{V=\displaystyle \iiint_R1\,dV=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^1\int_0^{r\,cos\,\theta}r\,dz\,dr\,d\theta}$

$=\mathsf{\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\bigg(\int_0^1r^2\,cos\,\theta\,dr\bigg)\,d\theta}$

$=\mathsf{\displaystyle \dfrac{1}{3}\cdot \int_0^{\frac{\pi}{2}}cos\,\theta\,d\theta}}$

$=\mathsf{\dfrac{1}{3}\cdot [sen\,\theta]_0^{\frac{\pi}{2}}=\dfrac{1}{3}\cdot[sen(\pi/2)-sen\,0]}\\\\=\mathsf{\dfrac{1}{3}\cdot(1-0)}\\\\=\mathsf{\dfrac{1}{3}}$

Conclusão: a alternativa correta é a letra B.

Bons estudos! :D

Equipe Brainly