Question

O volume do ´sólido limitado pelo paraboloide y=x2+z2+2 e pelo plano y=5
é igual a:
Escolha uma:
Me ajudem

Answer 1

Utilizando integral tripla em coordenadas cilindricas, temos que encontrei o resultado 9π/2, que não tem nas alternativas, provavelmente errei em alguma conta numérica e peço sua ajuda para encontrar, pois não achei sozinho. Tenho certeza que a metologia de resolver é essa, é muito provável que o erro tenha sido numérico mesmo.  

Explicação passo-a-passo:

Vamos primeiramente inverter y com z, pois assim teremos uma imagem visual melhor da questão, pois esta paraboiloide da forma que está é uma paraboloide deitada no eixo y, invertendo y com z temos que ela é uma paraboloide em pé e seus limites são:

 $z=x^2+y^2+2$ até $z=5$

 Note que isso não muda a resposta fina lda questão, pois só queremos o volume deste objeto e não a sua equação final.

 Assim vamos agora passar esta questão para coordenadas cilindricas da forma:  

$x=r.cos(\theta)$

$y=r.sen(\theta)$

$z=z$  

Assim nossos limites de volume ficam:  

$z=r^2+2$ até $z=5$  

E quando z for igual a 5, podemos encontrar o valor do raio:

 $5=r^2+2$

$r^2=3$

$r=\sqrt{3}$  

Assim sabemos os limites de integração da nossa integral tripla em coordenadas cilindricas, então basta integrarmos um elemento de volume nestes limites:

$V=\int\int\int_V dV$

$V=\int_{0}^{\sqrt{3}}\int_{r^2+2}^{5}\int_{0}^{2\pi} \quad r.d\theta dz dr$  

Note que o "r" que apareceu na integral é o Jacobiano das coordenadas cilindricas.  

Agora basta integrarmos variavel a variavel:  

$V=\int_{0}^{\sqrt{3}}\int_{r^2+2}^{5}\int_{0}^{2\pi} \quad r.d\theta dz dr$

$V=2\pi\int_{0}^{\sqrt{3}}\int_{r^2+2}^{5} \quad r.dz dr$

$V=2\pi\int_{0}^{\sqrt{3}}\left[z\right]_{r^2+2}^{5} \quad r.dr$

$V=2\pi\int_{0}^{\sqrt{3}}\left(5-r^2 - 2\right).r \quad dr$

$V=2\pi\int_{0}^{\sqrt{3}}\left(3-r^2\right).r \quad dr$

$V=2\pi\int_{0}^{\sqrt{3}}\quad 3r-r^3 \quad dr$  

E por fim basta integrarmos em r:

 $V=2\pi\int_{0}^{\sqrt{3}}\quad 3r-r^3 \quad dr$

$V=2\pi\left[ \frac{3}{2}r^2-\frac{1}{4}r^4\right]_{0}^{\sqrt{3}}$

$V=2\pi\left[ \frac{3}{2}(\sqrt{3})^2-\frac{1}{4}(\sqrt{3})^4\right]$

$V=2\pi\left[ \frac{3}{2}.3-\frac{1}{4}.9\right]$

$V=2\pi\left[ \frac{9}{2}-\frac{9}{4}\right]$

$V=2\pi\left[ \frac{18}{4}-\frac{9}{4}\right]$

$V=2\pi\left[ \frac{18-9}{4}\right]$

$V=2\pi\left[\frac{9}{4}\right]$

$V=2\pi.\frac{9}{4}$

$V=\frac{18\pi}{4}$

$V=\frac{9\pi}{2}$  

Assim temos que encontrei o resultado 9π/2, que não tem nas alternativas, provavelmente errei em alguma conta numérica e peço sua ajuda para encontrar, pois não achei sozinho. Tenho certeza que a metologia de resolver é essa, é muito provável que o erro tenha sido numérico mesmo.