Question

O volume de um líquido volátil diminui 20% por hora. Após um tempo t seu volume se reduz a um oitavo. Usando log 2 = 0,3, o valor que mais se aproxima de t é: a( ) 4h b( ) 6 h c( ) 8 h d( ) 9 h e( ) n.d.a Solução: t = log0,8 1⁄8​

Answer 1

Se o volume diminui 20% por hora, significa dizer que a cada hora passada seu volume cai a 80% (100%-20%) do volume registrado anteriormente.

ex.: Se o volume atual é de 100 litros, daqui 1 hora terá caído a 80 litros, passadas 2 horas, terá caído a 64 litros e assim por diante

Podemos escrever matematicamente como:

$\boxed{\sf V_{final}~=~V_{inicial}~\cdot~0,8^{t}}$

Obs.: 0,8 é a representação de 80% como taxa unitária.

Queremos que o Volume Final seja 1/8 do Volume Inicial, portanto:

$\sf \dfrac{1}{8}\cdot V_{inicial}~=~V_{inicial}~\cdot ~0,8^t\\\\\\\dfrac{V_{inicial}}{8\cdot V_{inicial}}~=~0,8^t\\\\\\\dfrac{1}{8}~=~0,8^t\\\\\\Aplicando~logaritmos~nos~dois~lados~da~equacao:\\\\\\\log\left(\dfrac{1}{8}\right)~=~\log\left(0,8^t\right)$

Aplicando a propriedade do logaritmo da potência  $\boxed{\sf \log_ba^c~=~c\cdot \log_ba}$:

$\sf \log\left(\dfrac{1}{8}\right)~=~\log\left(0,8^t\right)\\\\\\\log\left(\dfrac{1}{8}\right)~=~t\cdot \log\left(0,8\right)$

Reescrevendo 0,8 na sua forma fracionária:

$\sf \log\left(\dfrac{1}{8}\right)~=~t\cdot \log\left(\dfrac{8}{10}\right)$

Aplicando a propriedade do logaritmo do quociente

$\boxed{\sf \log_b\left(\dfrac{a}{c}\right)~=~\log_ba-\log_bc}$ :

$\sf \left(\log1-\log8\right)~=~t\cdot \left(\log8-\log10\right)$

Reescrevendo 8 na forma de potência de base 2 e aplicando a propriedade do logaritmo da potência:

$\sf \left(\log1-\log2^3\right)~=~t\cdot \left(\log2^3-\log10\right)\\\\\\\sf \left(\log1-3\cdot \log2\right)~=~t\cdot \left(3\cdot \log2-\log10\right)$

Substituindo os valores dos logaritmos:

$\sf \left(0-3\cdot 0,3\right)~=~t\cdot \left(3\cdot 0,3-1\right)\\\\\\\sf \left(0-0,9\right)~=~t\cdot \left(0,9-1\right)\\\\\\\sf \left(-0,9\right)~=~t\cdot \left(-0,1\right)\\\\\\t~=~\dfrac{-0,9}{-0,1}\\\\\\t~=~\dfrac{9}{1}\\\\\\\boxed{\sf t~=~9~horas}$

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$