Question

* O volume de um cone reto é 18$\pi$ cm³. A altura do cone é igual ao diâmetro da base . determine a altura e área Total.

Answer 1

$v= \frac{1}{3} \pi r^2*h \\ v= \frac{1}{3} \pi ( \frac{d}{2})^2 *h \\ 18 \pi =\frac{1}{3} \pi \frac{d}{4}^2 *h \\ 18*12=d^3 \\ d= \sqrt[3]{216} \\ d=6 \\ d=h=6$

g^2=r^2+h^2 -> g^2=(6/2)^2+6^2 -> g^2=9+36 -> g=√45

at=π*r(g+r) ->at=π*3*(√45+3) ->at=π(3*√45+3*3) ->at=29,13πcm²

Answer 2

Altura = Diâmetro:

h = d

Raio da circunferência = Metade do diâmetro:

$r \ = \ \frac{d}{2}$

Como d = h, temos:

$r \ = \ \frac{h}{2}$

Pela fórmula do volume do cone reto:

$V \ = \ \frac{Ab.h }{3}$

Onde:

Ab = Área da base do cone (o círculo) = π.r²

h = Altura do cone

Então:

$V \ = \ \frac{Ab.h }{3}$

$18pi \ = \ \frac{\pi.r^{2}.h }{3}$

$18\pi \ = \ \frac{\pi.(\frac{h}{2})^{2}.h }{3}$

$18\pi \ = \ \frac{\pi.\frac{h^{2}}{4}.h }{3}$

$18\pi \ = \ \frac{\frac{\pi.h^{3}}{4}}{3}$

Fazendo a divisão entre as frações:

$18\pi \ = \ \frac{\pi.h^{3}}{4} \ . \ \frac{1}{3}$

$18\pi\ = \ \frac{\pi.h^{3}}{4} \ . \ \frac{1}{3}$

$18\pi\ = \ \frac{\pi.h^{3}}{12}$

Multiplicando meios pelos extremos:

18π . 12 = π.h³
216π = π.h³
$h^{3} \ = \ \frac{216\pi}{\pi}$

h³ = 216
$h \ = \ \sqrt[3]{216}$

h = 6 cm

A altura do cone reto é 6 cm.

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ÁREA DO CONE:

Aplicando a fórmula:

$A_{T} = A_{b} + A_{l}$

Onde:

$A_{b}$ = Área da Base
$A_{l}$ = Área lateral

$A_{l} = \pi.r.g$

Onde:

g = geratriz do cone.


Se traçarmos a altura do cone junto com o raio da circunferência, obteremos um triângulo retângulo, cuja a hipotenusa será a geratriz do cone, e os catetos serão a altura e o raio.

Daí, aplicando o teorema de Pitágoras, podemos encontrar a medida da geratriz:

Logo:

g² = h² + r²  (esta é a fórmula da geratriz do cone)


Mas o raio é a metade da altura, que por sua vez mede 6 cm, então:

$r = \frac{h}{2}$$r = \frac{6}{2}$r = 3 cm


Substituindo os valores na fórmula, temos:

g² = h² + r²
g² = (6)² + (3)²
g² = 36 + 9
g² = 45
g = 3√5 cm


Então a área lateral é:

$A_{l} = \pi.r.g$
$A_{l} = \pi.3.3 \sqrt{5}$
$A_{l} = 9\pi.\sqrt{5} \ cm$


Área da base é:

$A_{b} = \ \pi.r^{2}$
$A_{b} = \ \pi.(3)^{2}$
$A_{b} = \ \pi.9$
$A_{b} = \ 9\pi \ cm$


Substituindo os valores das áreas laterais e da base na fórmula da área total:

$A_{T} \ = \ A_{b} \ + A_{l}$
$A_{T} \ = \ 9\pi \ + \ 9\pi \sqrt{5}$

Adotando √5 ≈ 2,23, temos:

$A_{T} \ = \ 9\pi \ + \ 9\pi \ . \ 2,23$
$A_{T} \ = \ 9\pi \ + \ 20,07\pi$
$A_{T} \ = \ 29,07\pi \ cm^{2}$

Ou então, adotando π ≈ 3,14:

$A_{T} \ = \ 29,07\pi$
$A_{T} \ = \ 29,07 \ . \ 3,14$
$A_{T} \ = \ 91,28 \ cm^{2}$