Question

O volume de um cone reto, cuja altura mede 12cm, é 324$\pi$ cm³. Um plano paralelo à sua base o intersecta a 2/3 da medida da altura, determinando um círculo de centro B. Uma esfera E1 está apoiada no centro A da base do cone e seu volume é o maior possivel. O mesmo se passas com a esfera E2 apoiada em B. Veja a figura abaixo.

Determine:
a) as medidas dos raios da duas esferas
b) a razão entre os volumes das esferas

Answer 1

$Observe \ os \ anexos \ \Rightarrow \\ \\ Nomeei \ pontos \ importantes \ : \ \\ \\ \longrightarrow \ JN \ : \ Di\^ametro \ da \ base \ do \ cone \ maior \ (cone \ NJC); \\ \longrightarrow \ CC'' \ : \ Altura \ de \ NJC; \\ \longrightarrow \ J'N' \ : \ Di\^ametro \ da \ base \ do \ cone \ menor \ (cone \ N'J'C); \\ \longrightarrow \ CC' \ : \ Altura \ de \ N'J'C; \\ \longrightarrow \ L \ e \ M \ : \ Pontos \ da \ tang\^encia \ E_1 \ - \ N'J'C; \\ \longrightarrow \ O \ : \ Centro \ de \ E_1.$

$V_{_{(cone)}} \ = \ \frac{R^2_{_{(base)}} \ \cdot \ H_{_{(cone)}}}{3} \\ \\ V_{_{(cone)}} \ \rightarrow \ Volume \ do \ cone \ de \ raio \ da \ base \ R_{_{(base)}} \ e \ altura \ H_{_{(cone)}}.$

$Para \ NJC, \ V_{_{(NJC)}} \ = \ 324 \ \cdot \ \pi \ cm^3 \ e \ H_{_{(NJC)}} \ = \ 12 \ cm \ \longrightarrow \\ \\ 324 \ \cdot \ \not{\pi} \ = \ \frac{\not{\pi} \ \cdot \ R^2_{_{(NJC)}} \ \cdot \ 12}{3} \ \rightarrow \\ \\\ R^2_{_{(NJC)}} \ = \ \frac{324}{3} \ \rightarrow \\ \\ R_{_{(NJC)}} \ = \ \sqrt{81} \ \rightarrow \\ \\ \boxed{R_{_{(NJC)}} \ = \ 9 \ cm} \ \rightarrow \ Raio \ de \ NJC! \\ \\ E \ sendo \ NJ \ um \ di\^ametro, \ NJ \ = \ 2 \ \cdot \ 9 \ = \ \ \boxed{NJ \ = \ 18 \ cm}$

$Do \ enunciado, \ C'C'' \ = \ \frac{2 \ \cdot \ CC''}{3} \ \rightarrow \\ \\ C'C'' \ = \ \frac{2 \ \cdot \ 12}{3} \ \rightarrow \ \boxed{C'C'' \ = \ 8 \ cm} \\ \\ CC' \ = \ CC'' \ - \ C'C'' \ = \ 12 \ - \ 8 \ = \ \boxed{CC' \ = \ 4 \ cm}$

$Veja \ que, \ \triangle JNC \ \sim \ \triangle N'J'C \ = \\ \\ \frac{CC''}{CC'} \ = \ \frac{NJ}{N'J'} \ \rightarrow \\ \\ \frac{12}{4} \ = \ \frac{9}{N'J'} \ \rightarrow \\ \\ N'J' \ = \ \frac{9}{3} \ \rightarrow \\ \\ \boxed{N'J' \ = \ 3 \ cm}$

$\triangle JNC \ e \ \triangle J'N'C \ s\~ao \ is\'osceles \ \rightarrow \\ CC'' \ (segmento \ da \ altura \ relativa) \ \perp \ J'N', JN \ (bases \ relativas)$

$L, M \ : \ pontos \ tangentes, \ OL, \ OM \ \perp \ CJ', \ CN' \ (nesta \ ordem).$

$CJ'^2 \ = \ CC'^2 \ + \ C'J'^2 \ \rightarrow \\ \\ CJ'^2 \ = \ \underbrace{\bigg(\frac{3}{2}\bigg)^2}_{altura \ no \ ponto \ m\'edio} \ + \ 4^2 \ \rightarrow \\ \\ CJ'^2 \ = \ \frac{9}{4} \ + \ 16 \ \rightarrow \\ \\ CJ'^2 \ = \ \frac{9 \ + \ 64}{4} \ \rightarrow \\ \\ CJ' \ = \ \sqrt{\frac{73}{4}} \ \rightarrow \\ \\ \boxed{CJ' \ = \ \frac{\sqrt{73}}{2} \ cm}$

$(CN' \ = \ \frac{\sqrt{73}}{2} \ cm). \\ \\ Observe, \ por \ exemplo, \ os \ \triangle \ CJ'C' e \ \triangle CLO \ ret\^angulos. \\ \\ J'\widehat{C}C' \ = \ L\widehat{C}O \ \rightarrow \\ \\ sen(J'\widehat{C}C') \ = \ sen(L\widehat{C}O) \ \rightarrow$

$\frac{J'C'}{CJ'} \ = \ \frac{OL}{OC} \ \rightarrow \\ \\ \frac{\frac{3}{\not{2}}}{\frac{\sqrt{73}}{\not{2}}} \ = \ \frac{r}{4 \ - \ r} \ \rightarrow \\ \\ \boxed{\boxed{r \ = \ \frac{4}{\sqrt{(73 \ + \ 3)}} \ cm}} \ \Rightarrow \ Raio \ de \ E_1!$

$C'C'' \ \'e \ um \ di\^ametro \ de \ E_2 \ \longrightarrow \\ \\ R \ = \ \frac{C'C''}{2} \ \rightarrow \ \boxed{\boxed{R \ = \ 4 \ cm}} \ \Rightarrow \ Raio \ de \ E_2!$

$Semelhan\c{c}a \ entre \ esferas \ (K_{(\circ)}) \ \rightarrow \\ \\ K_{(\circ)} \ \rightarrow \ Raios\ (1^\circ \ dimens\~ao); \\ \\ K^2_{(\circ)} \ \rightarrow \ Superf\'icies \ (2^\circ \ dimens\~ao);$

$K^3_{(\circ)} \ \rightarrow \ Volumes \ (3^\circ \ dimens\~ao).$

$K^3_{(^\circ)} \ = \ \big(\frac{R}{r}\big)^3 \ \rightarrow \\ \\ K^3_{(^\circ)} \ = \ \Bigg(\dfrac{4}{\frac{4}{\sqrt{(73 \ + \ 3)}}}\Bigg)^3 \ \rightarrow \\ \\ \\ \\ K^3_{(^\circ)} \ = \ \big(\frac{\not{4} \ \cdot \ \sqrt{(73 \ + \ 3)}}{\not{4}}\big)^3 \ \rightarrow \\ \\ \\ \\ \boxed{\boxed{K^3_{(^\circ)} \ = \ (\sqrt{73 \ + \ 3})^3}} \ \Rightarrow \ Raz\~ao \ entre \ os \ volumes \ das \ esferas!$