Question

O volume de um cone equilatero é igual a 9 pi(raiz)3 cm³.Calcule a altura do cone?

Answer 1

a^2=b^2+c^2
g^2=(g/2)^2+h^2
g^2=g^2/4+h^2
g^2-g^2/4=h^2
h^2=3g^2/4

V=Ab×h×1/3
V=(TT(g/2)^2)×h×1/3
9V3TT=g^2TT/4×3g/4×1/3
9V3TT=3g^2TT×12g×4
9V3TT=(144g^3TT)/12
9V3TT=12g^3TT
g^2=V(4V3)
g=2×3
g=6cm

h^2=3g^2/4
h^2=(3(6)^2)/4
h=V27
h=3V3cm

A altura do cone é 3V3cm

Confirmando....
g=2r
6=2r
r=3cm

V=TTr^2×h×1/3
V=TT3^2×3V3×1/3
V=(27V3TT)/3
V=9V3TTcm^3

Answer 2

Como é um cone equilátero, sua geratriz é igual ao diâmetro da base, logo:

$\boxed{\mathsf{g=D=2r}}$

Sabemos que por Pitágoras a geratriz se comporta como hipotenusa, enquanto que o raio da base e a altura como catetos. Então:

$\mathsf{g^2=r^2+h^2}\\ \\ \mathsf{g^2=(\frac{g}{2})^2+h^2}\\ \\ \mathsf{g^2=\frac{g^2}{4}+h^2}\\ \\ \mathsf{h^2=g^2-\frac{g^2}{4}}\\ \\ \mathsf{h^2=\frac{3g^2}{4}}\\ \\ \mathsf{h=\sqrt{\frac{3g^2}{4}}}\\ \\ \boxed{\mathsf{h=\frac{\sqrt{3}\cdot g}{2}}~cm}$

Agora, lembramos que o volume é calculado por:

$\boxed{\mathsf{V=\frac{A_b\cdot h}{3}}}\\ \\ \\ \mathsf{V=\frac{\pi\cdot r^2\cdot h}{3}}\\ \\ \mathsf{3\cdot9\sqrt{3}\pi=\pi\cdot(\frac{g}{2})^2\cdot \frac{\sqrt{3}\cdot g}{2}}}\\ \\ \mathsf{27=\frac{g^2}{4}\cdot\frac{g}{2}}\\ \\ \mathsf{g^3=27\cdot8}\\ \\ \mathsf{g=\sqrt[3]{27\cdot8}}\\ \\ \mathsf{g=3\cdot2}\\ \\ \boxed{\mathsf{g=6~cm}}$

Descoberta a geratriz, a altura será:

$\mathsf{h=\frac{\sqrt{3}\cdot g}{2}}\\ \\ \mathsf{h=\frac{\sqrt{3}\cdot6}{2}}\\ \\ \boxed{\mathsf{h=3\sqrt{3}~cm}}$