Question

O vôlei foi criado em 1895 por William C. Morgan nos Estados Unidos, o jogo é realizado em uma local que haja dois campos separados por uma rede que divide uma extremidade da outra, o jogo determina que somente o uso das mãos para o controle da bola, pontuando sempre no campo adversário quando esta encosta no chão. A bola deve atravessar os campos por cima da rede sem que os jogadores encostem na mesma, devendo cada time conter até seis jogadores em campo.

Em uma partida entre equipes femininas do Brasil x Chile foi constatado que a bola percorreu uma trajetória parabólica descrita pela seguinte função:
Em uma partida entre equipes femininas do Brasil x Chile foi constatado que a bola percorreu uma trajetória parabólica descrita pela seguinte função
h(t) = -1 x² + 3 x +2
2 2 onde t é o tempo em segundos e h é a altura em metros.


Construa o gráfico da função destacando o vértice e as raízes.

Qual a altura máxima atingida pela bola?

Em que instante é alcançado a altura máxima?

Answer 1

Sabemos que trata-se de uma parábola, pois temos uma função do segundo grau (ax² + bx + c).

Sua concavidade será voltada para baixo, pois a = -1/2 (a < 0);

$\mathbf{h(t)=\frac{-x^2}{2}+\frac{3x}{2}+2}$

Para a construção da função precisamos encontrar as raizes....

$\mathbf{\frac{-x^2}{2}+\frac{3x}{2}+2=0}$

Δ = b² - 4.a.c

Δ = (3/2)² - 4 . (-1/2) . 2

Δ = (9/4) - 4 . (-1/2) . 2

Δ = 2,25 - 4. (-1) ⇔ Δ = (9/4) - 4. (-1)

Δ = 2,25 + 4  ⇔ Δ = (9/4) + 4

Δ = 6,25 ⇔ Δ = 25/4

x = (-b +- √Δ)/2a

x' = (-(3/2) + √25/4)/2.(-1/2)     x'' = (-(3/2) - √25/4)/2.(-1/2)

como √25/4 = √25/√4 = 5/2, entao

x' = (-(3/2) + 5/2)/(-1)     x'' = (-(3/2) - 5/2)/(-1)

x' = (2/2)/(-1)     x'' = (-8/2)/(-1)

x' = 1 / -1     x'' = - 4 / -1

x' = -1     x'' = 4

Logo as raízes sao -1 e 4 (pontos em que a parabola corta o eixo X)

Com esses dados, basta traçar a parabola (a parabola deve tocar o ponto 2, pois é o c da função do segundo grau (ax² + bx + c)).

ver anexo 1

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Como temoos concavidade voltada para baixo, o ponto de máximo será no vertice da curva. Os pontos do Vértice é dado pela expressao:

V = (Xv ; Yv) ⇔ V = (-b/2a ; -Δ/4a)

-b/2a = (-3/2) ÷ 2.(-1/2)

-b/2a = (-3/2) ÷ (-2/2)

-b/2a = (-3/2) ÷ (- 1)

-b/2a = (-3/2) ÷ (- 1)

-b/2a = 3/2

Δ = (9/4) + 4

Δ = 25/4

-Δ/4a = (-25/4) ÷ 4.(-1/2)

-Δ/4a = (-25/4) ÷ (-2)

-Δ/4a = (25/4) × (1/2)

-Δ/4a = 25/8 = 3,125

Xv é a coordenada X, ou seja, o tempo e Yv é a coordenada Y, ou seja, a altura. Neste caso em 3/2 segundos a bola atingiu sua altura máxima que foi de 25/8m