Question

O vetor posição de um móvel é dado, em unidades do Sistema Internacional, por:

r(t) = (5.t3-12.t+2) i + (3.t2+5)j + (4.t+1)k.

Determine o vetor velocidade instantânea

A) v(t) = (15.t2 - 12). i + ( 6.t).j + (0).k

B) v(t) = (15.t2 - 12). i + ( 0).j + (4).k

C) v(t) = (15.t2 ). i + ( 6.t).j + (4).k

D) v(t) = (15.t2 - 12). i + ( 6.t).j + (4).k

E) v(t) = (15.t3 - 12). i + ( t).j + (4).k

Answer 1

O vetor posição é dado por:

$\vec{r}(t) = (5t^3-12t+2)\hat{i} + (3t^2+5)\hat{j} + (4t+1)\hat{k}.$

Derivando cada componente em ordem ao tempo, temos:

$v_x(t) = \dot{r}_x(t) = \dfrac{\textrm{d}}{\textrm{d}t}(5t^3-12t+2) = 5 \times 3 t^2 - 12 = 15t^2-12;$

$v_y(t) = \dot{r}_y(t) = \dfrac{\textrm{d}}{\textrm{d}t}(3t^2+5) = 3 \times 2 t = 6t;$

$v_z(t) = \dot{r}_z(t) = \dfrac{\textrm{d}}{\textrm{d}t}(4t+1) = 4.$

Ou seja:

$\vec{v}(t) = v_x(t)\hat{i} + v_y(t)\hat{j} + v_z(t)\hat{k} = (15t^2-12)\hat{i} + 6t\hat{j} + 4\hat{k}.$

Resposta: opção D)