Question

O vetor (m, 5, 6) do R3 é uma combinação linear dos vetores (1, 0, - 1) e (1, 2, 1). Qual é o valor de m?

Answer 1

O vetor $\mathsf{\overset{\to}{u}=(m,\,5,\,6)}$ é combinação linear dos vetores

     $\mathsf{\overset{\to}{u}\,\!_1=(1,\,0,\,-1)}$  e  $\mathsf{\overset{\to}{u}\,\!_2=(1,\,2,\,1).}$


Logo, existem escalares α₁, α₂ ∈ ℝ, tais que

     $\mathsf{\alpha_1\overset{\to}{u}\,\!_1+\alpha_2\overset{\to}{u}\,\!_2=\overset{\to}{u}}\\\\ \mathsf{\alpha_1(1,\,0,\,-1)+\alpha_2(1,\,2,\,1)=(m,\,5,\,6)}\\\\ \mathsf{(\alpha_1,\,0,\,-\alpha_1)+(\alpha_2,\,2\alpha_2,\,\alpha_2)=(m,\,5,\,6)}\\\\ \mathsf{(\alpha_1+\alpha_2,~2\alpha_2,~-\alpha_1+\alpha_2)=(m,\,5,\,6)}$


Dois vetores são iguais somente se as coordenadas correspondentes são iguais. Logo, temos o seguinte sistema:

     $\left\{ \begin{array}{crcrcrc}&\mathsf{\alpha_1}&\!\!\!+\!\!\!&\mathsf{\alpha_2}&\!\!\!=\!\!\!&\mathsf{m}&\qquad\mathsf{(i)}\\&&&\mathsf{2\alpha_2}&\!\!\!=\!\!\!&\mathsf{5}&\qquad\mathsf{(ii)}\\ \!\!\!-\!\!\!&\mathsf{\alpha_1}&\!\!\!+\!\!\!&\mathsf{\alpha_2}&\!\!\!=\!\!\!&\mathsf{6}&\qquad\mathsf{(iii)} \end{array} \right.$


Da equação (ii), segue diretamente que

     $\mathsf{\alpha_2=\dfrac{5}{2}}$        ✔


Substitua na equação (iii) o valor acima para encontrar α₁:

     $\mathsf{-\alpha_1+\alpha_2=6}\\\\ \mathsf{\alpha_1=\alpha_2-6}\\\\ \mathsf{\alpha_1=\dfrac{5}{2}-6}\\\\\\ \mathsf{\alpha_1=\dfrac{5}{2}-\dfrac{12}{2}}$

     $\mathsf{\alpha_1=-\,\dfrac{7}{2}}$        ✔


Substitua na equação (i) os valores encontrados para α₁ e α₂:

     $\mathsf{\alpha_1+\alpha_2=m}\\\\ \mathsf{-\,\dfrac{7}{2}+\dfrac{5}{2}=m}\\\\\\ \mathsf{-\,\dfrac{2}{2}=m}$

     $\mathsf{m=-1\quad\longleftarrow\quad resposta.}$


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