Question

O vetor gradiente de f (x,y) = x² + y² em (1,1) é:

Answer 1

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Ola Luis

gradiente  f(x,y) = (df(x,y)/dx)i + (df(x,y)/dy)j 

df(x,y)/dx = 2x

df(x,y)/dy = 2y

grad f(x,y) = 2x*i + 2y*j

grad f(1,1) = 2i + 2j

.

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o vetor gradiente da referida função polinomial de duas variáveis, aplicado ao ponto "P" é:

               $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\:\:\:\ \vec{\nabla} f(1, 1) = (2,\,2)\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

                    $\Large\begin{cases} f(x, y) = x^{2} + y^{2}\\P(1, 1)\end{cases}$

Seja f uma função em duas variáveis x e y, o seu gradiente é definindo como:

    $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{\nabla} f(x, y) = \langle f_{x}(x, y), \, f_{y}(x, y) \rangle = \frac{\partial f}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\vec{j}\end{gathered}$

Então, temos:

• Calculando o vetor gradiente da função:

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{\nabla} f(x, y) = \langle f_{x}(x, y),\,f_{y}(x, y)\rangle\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{\partial f}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\vec{j}\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 2\cdot x\cdot \vec{i} + 2\cdot y\cdot \vec{j}\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 2x\,\vec{i} + 2y\,\vec{j}\end{gathered}$

• Calcular o vetor gradiente da função aplicado ao ponto "P":

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{\nabla} f(1, 1) = 2\cdot1\,\vec{i} + 2\cdot1\,\vec{j}\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 2\,\vec{i} + 2\,\vec{j}\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (2, 2)\end{gathered}$

✅ Portanto, o vetor gradiente da função aplicado ao ponto P é:

               $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{\nabla} f(1, 1) = (2,\,2)\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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