Matemática, perguntado por camillebernardo5279, 1 ano atrás

O vetor gradiente da função f(x,y,z) = xy2z3 no ponto P = (3; -2; 1) terá módulo, aproximadamente:

Soluções para a tarefa

Respondido por Usuário anônimo

Boa noite!

Função:
$f(x,y,z)=xy^2z^3\\\nabla f=\dfrac{\partial f}{\partial x}\vec{i}+\dfrac{\partial f}{\partial y}\vec{j}+\dfrac{\partial f}{\partial z}\vec{k}\\\boxed{\nabla f=(y^2z^3)\vec{i}+(2xyz^3)\vec{j}+(3xy^2z^2)\vec{k}}$

Agora iremos substituir o ponto P(3;-2;1) para encontrar o que se pede:
$\nabla f=((-2)^2(1)^3)\vec{i}+(2(3)(-2)(1)^3)\vec{j}+(3(3)(-2)^2(1)^2)\vec{k}\\\boxed{\nabla f=4\vec{i}-12\vec{j}+36\vec{k}}$

Espero ter ajudado!

Respondido por solkarped

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o vetor gradiente da referida função polinomial de duas variáveis, aplicado ao ponto "P" é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\ \vec{\nabla} f(3, -2, 1) = (4, -12, 36)\:\:\:}}\end{gathered}$}$

Sejam os dados:

$\Large\begin{cases} f(x, y, z) = xy^{2}z^{3}\\P(3, -2, 1)\end{cases}$

Então, temos:

Calculando o vetor gradiente da função:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \vec{\nabla} f(x, y, z) = \langle f_{x}(x, y, z),\,f_{y}(x, y, z),\,f_{z}(x, y, z)\rangle\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \frac{\partial f}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\vec{j} + \frac{\partial}{\partial z}\vec{k}\end{gathered}$}$

$\large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = 1\cdotx^{1 - 1}y^{2}z^{3}\,\vec{i} + 2\cdot x\cdot y\cdot z^{3}\,\vec{j} + 3\cdot x\cdot y^{2}z^{2}\,\vec{k}\end{gathered}$}$

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = y^{2}z^{3}\,\vec{i} + 2xyz^{3}\,\vec{j} + 3xy^{2}z^{2}\,\vec{k}\end{gathered}$}$

Calcular o vetor gradiente da função aplicado ao ponto "P":

$\large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \vec{\nabla} f(3, -2, 1) = (-2)^{2}\cdot1^{3}\,\vec{i} + 2\cdot3\cdot(-2)\cdot1^{3}\,\vec{j} + 3\cdot3\cdot(-2)^{2}\cdot1^{2}\,\vec{k}\end{gathered}$}$