Question

O vetor gradiente da função f (x, y, z)=xy^2z^3 no ponto P=(3,-2,1) terá módulo aproximadamente?

Answer 1

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o vetor gradiente da referida função polinomial de duas variáveis, aplicado ao ponto "P" é:

    $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\ \vec{\nabla} f(3, -2, 1) = (4, -12, 36)\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

                  $\Large\begin{cases} f(x, y, z) = xy^{2}z^{3}\\P(3, -2, 1)\end{cases}$

Então, temos:

• Calculando o vetor gradiente da função:

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{\nabla} f(x, y, z) = \langle f_{x}(x, y, z),\,f_{y}(x, y, z),\,f_{z}(x, y, z)\rangle\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{\partial f}{\partial x}\vec{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\vec{j} + \frac{\partial}{\partial z}\vec{k}\end{gathered}$

                                  $\large\displaystyle\begin{gathered} = 1\cdotx^{1 - 1}y^{2}z^{3}\,\vec{i} + 2\cdot x\cdot y\cdot z^{3}\,\vec{j} + 3\cdot x\cdot y^{2}z^{2}\,\vec{k}\end{gathered}$

                                  $\Large\displaystyle\begin{gathered} = y^{2}z^{3}\,\vec{i} + 2xyz^{3}\,\vec{j} + 3xy^{2}z^{2}\,\vec{k}\end{gathered}$

• Calcular o vetor gradiente da função aplicado ao ponto "P":

        $\large\displaystyle\begin{gathered} \vec{\nabla} f(3, -2, 1) = (-2)^{2}\cdot1^{3}\,\vec{i} + 2\cdot3\cdot(-2)\cdot1^{3}\,\vec{j} + 3\cdot3\cdot(-2)^{2}\cdot1^{2}\,\vec{k}\end{gathered}$

                                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 4\,\vec{i} - 12\,\vec{j} + 36\,\vec{k}\end{gathered}$

                                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (4, -12, 36)\end{gathered}$

✅ Portanto, o vetor gradiente da função aplicado ao ponto P é:

        $\Large\displaystyle\begin{gathered} \vec{\nabla} f(3, -2, 1) = (4,\,-12,\,36)\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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