Question

o vetor gradiente da função F(x,y,z) = cos (x) +5y³z no ponto P (0,1, -1) é :

Por favor ! me ajudem ..

Answer 1

Resposta:

∇F(0,1,-1) = (0,-15,5)

Explicação passo-a-passo:

Usarei ∇F para representar o  gradiente de F. Lembramos que o gradiente de F no ponto (x,y,z) é:

$\nabla F(x,y,z) = \left( \dfrac{\partial F}{\partial x}(x,y,z),\dfrac{\partial F}{\partial y}(x,y,z),\dfrac{\partial F}{\partial z}(x,y,z) \right)$

Ou seja, tudo que é necessário fazer é calcular as derivadas parciais de F no ponto (0,1,-1). Temos:

F(x,y,z) = cos x + 5y³z

Em relação a x temos

Fx (x,y,z) = -sen x  ⇒ Fx(0,1,-1) = 0

Em relação a y temos

Fy (x,y,z) = 15y²z ⇒ Fy(0,1,-1) = -15

Em relação a z temos

Fz (x,y,z) = 5y³ ⇒ Fz(0,1,-1) = 5

Portanto:

∇F(0,1,-1) = (0,-15,5)

Obs.: não conferi as contas

Answer 2

• O vetor gradiente da função dada é ∇f(0,1,-1) = (0,-15,5).

O vetor gradiente da sua questão, é representado da seguinte forma:

$\large\displaystyle\begin{aligned}\vec{\nabla} f=\left( \frac{\partial f}{\partial x} \ , \ \frac{\partial f}{\partial y} \ ,\ \frac{\partial f}{\partial z} \right) \end{aligned}$

• Logo, calculando as derivadas parcias, temos:

$\large\displaystyle\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x} \left[ cos(x) + 5y^3 z \right]\Leftrightarrow \underline{-sen(x)}\ ;\end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial y} \left[ cos(x) + 5y^3 z \right]\Leftrightarrow \underline{15y^2z}\ ;\end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial z} \left[ cos(x) + 5y^3 z \right]\Leftrightarrow \underline{5y^3}\ .\end{aligned}$

• Substituindo agora as derivadas parciais no ponto P (0,1, -1), temos que:

$\large\displaystyle\begin{aligned}\vec{\nabla} f(0,1,-1)=\left( -sen(x) \ , \ 15y^2z \ ,\ 5y^3\right) \Leftrightarrow\end{aligned}$

$\large\displaystyle\begin{aligned}\vec{\nabla} f(0,1,-1)=\left( -sen(0) \ , \ 15(1)^2(-1) \ ,\ 5(1)^3\right) \Leftrightarrow\end{aligned}$

$\large\displaystyle\text{ \begin{aligned}\therefore \boxed{\boxed{\green{\vec{\nabla} f(0,1,-1)=\left( 0 \ , \ -15 \ ,\ 5 \right) }}} \end{aligned} }$

Veja mais sobre:

Vetor Gradiente.

$\blue{\square}$ brainly.com.br/tarefa/13019326