Question

O valores de p e q para que i seja raiz da equação 2x^3 + px^2 + qx + 2 = 0, são respectivamente:

a) 2 e 2
b) -1 e 0
c) 1 e -1
d) 1/2 e 2
e) 1/2 e 0

Answer 1

Olá!

 Se "i" é uma raiz, então "- i" também será.

  Isto posto, temos que o produto entre (x - i) e (x + i) divide a equação dada no enunciado.

$\mathsf{Seja \ \underline{m} \ a \ outra \ raiz, \ onde \ m \in \mathbb{R}.}$

 Segue que,

$\\ \mathsf{2x^3 + px^2 + qx + 2 = a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)} \\\\ \mathsf{2x^3 + px^2 + qx + 2 = a(x - i)(x + i)(x - m)} \\\\ \mathsf{2x^3 + px^2 + qx + 2 = a(x^2 - i^2)(x - m)} \\\\ \mathsf{2x^3 + px^2 + qx + 2 = a(x^2 + 1)(x - m)} \\\\ \mathsf{2x^3 + px^2 + qx + 2 = a(x^3 - mx^2 + x - m)} \\\\ \mathsf{2x^3 + px^2 + qx + 2 = ax^3 - amx^2 + ax - am}$

 Por comparação,

$\begin{cases} \boxed{\mathsf{2 = a}} \\ \mathsf{p = - am} \\ \mathsf{q = a} \\ \mathsf{2 = - am} \Rightarrow \mathsf{2 = - 2m} \Rightarrow \boxed{\mathsf{m =- 1}}\end{cases}$

 Por fim, encontramos "p" e "q", veja:

$\begin{cases}\mathsf{p = - am \Rightarrow p = - 2 \cdot (- 1) \Rightarrow \boxed{\boxed{\mathsf{p = 2}}}} \\ \mathsf{q = a \Rightarrow \boxed{\boxed{\mathsf{q = 2}}}}\end{cases}$