Question

O valor real de x para que o triângulo formado pelos pontos A ( -1, 1 ), B ( 2, 5 ) e C ( x, 2) seja retângulo em B é:​

Answer 1

Distância entre dois pontos :

$\text D = \sqrt{(\text x_1-\text x_2)^2+(\text y_1-\text y_2)^2}$

Se o triângulo é retângulo em B então é válido o teorema de pitágoras :

$\text{AC}^2=\text{AB}^2+\text{BC}^2$

1º Vamos achar os segmentos AC, AB, BC usando distância entre dois pontos:

Segmento AC : A ( -1, 1 )e C ( x, 2) :

$\text{AC} = \sqrt{(-1-\text x)^2+(1-2)^2} \\\\ \text{AC}=\sqrt{(1+\text x)^2+1}$

Segmento AB : A ( -1, 1 ) e B ( 2, 5 )

$\text{AB} = \sqrt{(-1-2)^2+(1-5)^2} \\\\ \text{AB}=\sqrt{9+16} \\\\ \text{AB} = \sqrt{25}$

Segmento BC : B ( 2, 5 ) e C ( x, 2 )

$\text{BC} = \sqrt{(2-\text x)^2+(5-2)^2} \\\\ \text{BC}=\sqrt{(2-\text x)^2 + 9}$

2º Substituindo na teorema de pitágoras :

$\text{AC}^2=\text{AB}^2+\text{BC}^2$

$(\sqrt{(1+\text x)^2+1})^2 = (\sqrt{25})^2+(\sqrt{(2-\text x)^2+9})^2$

$(1+\text x)^2+1} = 25+(2-\text x)^2+9}$

$1+2\text x+\text x ^2+1 = 25+4-4\text x+\text x^2+9$

$2\text x+2 = 38-4\text x$

$6\text x = 36 \\\\ \huge\boxed{\text x = 6}\checkmark$