O valor numérico do complexo (1+i^9/1+i^27)^20
Soluções para a tarefa
z = (1 + i^9) / (1 + i^27)²º
Antes, veja que as potências de "i" serão sempre iguais a uma dessas 4 formas:
iº = 1
i¹ = i
i² = -1
i³ = -i.
Veja: se você tem i^n, você divide "n" por 4. O resto que der é o "i" correspondente ao i^n.
Por exemplo: se você tem i³³. Você divide 33 por 4. Dá quociente igual a 8 e resto igual a 1.
Então i³³ = i¹ = i.
Bem, dito isso, vamos à questão, que é:
z = (1 + i^9) / (1 + i^27)²º
Vamos ver quanto i^9 e ver quanto é i^27.
i^9 ---dividindo 9 por 4, dá quociente igual a 2 e resto igual a 1. Então:
i^9 = i¹ = i
i^27 ---dividindo 27 por 4, dá quociente igual a 6 e resto igual a 3. Então:
i^27 = i³ = -i.
Vamos, então subsitutir i^9 por i ; e i^27 por (-i). Assim:
z = (1+i) / (1-i)²º -----veja que (1-i)²º = [(1-i)²]¹º . Então:
z = (1+i) / [(1-i)²]¹º ---- veja que (1-i)² = -2i. Então vamos ficar com:
z = (1+i) / (-2i)¹º -----veja que (-2i)¹º = -2¹º.i¹º . Então
z = (1+i) / [(-2)¹º.i¹º]
Vamos ver quanto i¹º. Dividindo 10 por 4, dá quociente igual a 2 e resto igual a 2. Então:
i¹º = i² = -1. Então vamos ficar com:
z = (1+i) / (-2)¹º * (-1) ----atente que (-2)¹º = 1.024. Assim:
z = (1+i) / 1.024*(-1)
z = (1+i) / - 1.024
Colocando o sinal de menos do denominador para antes da expressão, vamos ficar com:
z = -(1 + i) / 1.024
z = ( -1 - i) / 1.024 , ou, o que é a mesma coisa:
z = -1/1.024 - i/1.024
Pronto.
Resposta:
z = -1/1.024 - i/1.024
Explicação passo-a-passo:
chamando o número complexo de "z":
z = (1 + i^9) / (1 + i^27)²º
Antes, veja que as potências de "i" serão sempre iguais a uma dessas 4 formas:
iº = 1
i¹ = i
i² = -1
i³ = -i.
Veja: se você tem i^n, você divide "n" por 4. O resto que der é o "i" correspondente ao i^n.
Por exemplo: se você tem i³³. Você divide 33 por 4. Dá quociente igual a 8 e resto igual a 1.
Então i³³ = i¹ = i.
Bem, dito isso, vamos à questão, que é:
z = (1 + i^9) / (1 + i^27)²º
Vamos ver quanto i^9 e ver quanto é i^27.
i^9 ---dividindo 9 por 4, dá quociente igual a 2 e resto igual a 1. Então:
i^9 = i¹ = i
i^27 ---dividindo 27 por 4, dá quociente igual a 6 e resto igual a 3. Então:
i^27 = i³ = -i.
Vamos, então subsitutir i^9 por i ; e i^27 por (-i). Assim:
z = (1+i) / (1-i)²º -----veja que (1-i)²º = [(1-i)²]¹º . Então:
z = (1+i) / [(1-i)²]¹º ---- veja que (1-i)² = -2i. Então vamos ficar com:
z = (1+i) / (-2i)¹º -----veja que (-2i)¹º = -2¹º.i¹º . Então
z = (1+i) / [(-2)¹º.i¹º]
Vamos ver quanto i¹º. Dividindo 10 por 4, dá quociente igual a 2 e resto igual a 2. Então:
i¹º = i² = -1. Então vamos ficar com:
z = (1+i) / (-2)¹º * (-1) ----atente que (-2)¹º = 1.024. Assim:
z = (1+i) / 1.024*(-1)
z = (1+i) / - 1.024
Colocando o sinal de menos do denominador para antes da expressão, vamos ficar com:
z = -(1 + i) / 1.024
z = ( -1 - i) / 1.024 , ou, o que é a mesma coisa:
z = -1/1.024 - i/1.024