Question

O valor numérico da expressão $\frac{a^{6}-b^{6} }{a^{4}+a^{2}b^{2}+b ^{4} }$, para a = $\frac{ \sqrt[3]{3}+2 }{ \sqrt[3]{2} }$, b = $\frac{ \sqrt[3]{3}-2 }{ \sqrt[3]{2} }$ e x = $2 \sqrt[3]{6}$, é:
a) $\frac{x}{2}$
b) $\frac{2 x^{2} }{3}$
c) 2x
d) $\frac{5}{2}x$
e) x²

Answer 1

Oi :) . Segue o modo como fiz . Espero que ajude em algo :)

$\frac{a^6-b^6}{a^4+a^2b^2+b^4} = \frac{(a^3)^2-(b^3)^2}{(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)} =\frac{(a^3+b^3)(a^3-b^3)}{(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)} = \\ \\ =\ \textgreater \ \frac{(a+b)(a^2-ab+b^2)(a-b)(a^2-ab+b^2)}{(a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)}=\boxed{(a+b)(a-b)}$

$(a+b)(a-b)= \\ \\ (\frac{ \sqrt[3]{3}+2 }{ \sqrt[3]{2} } + \frac{ \sqrt[3]{3}-2 }{ \sqrt[3]{2} })(\frac{ \sqrt[3]{3}+2 }{ \sqrt[3]{2} } - \frac{ \sqrt[3]{3}-2 }{ \sqrt[3]{2} })= (\frac{ 2\sqrt[3]{3} }{ \sqrt[3]{2} })(\frac{4 }{ \sqrt[3]{2} })= \frac{ 8\sqrt[3]{3} }{ \sqrt[3]{4} } \\ \\ \frac{ 8\sqrt[3]{3} }{ \sqrt[3]{4} } .\frac{ \sqrt[3]{2} }{ \sqrt[3]{2} } = \frac{8 \sqrt[3]{6} }{ \sqrt[3]{8} } =\frac{8 \sqrt[3]{6} }{2 }= \boxed{4 \sqrt[3]{6} }$


$4 \sqrt[3]{6} = 2* 2 \sqrt[3]{6} = 2x$