Question

O valor minimo da função y=(x-1)^2+(x+2)^2 é:
a) 4
b) 4,5
c) 5
d) 5,5
e) 6

Answer 1

(1) Encontrando a coordenada $y$ do vértice:

$y=\left(x-1 \right )^{2}+\left(x+2 \right )^{2}\\ \\ y=\left(x^{2}-2x+1 \right )+\left(x^{2}+4x+4 \right )\\ \\ y=x^{2}+x^{2}-2x+4x+1+4\\ \\ y=2x^{2}+2x+5$


Para esta função do segundo grau, temos

$a=2,\;\;b=2,\;\;c=5\\ \\ \\ \Delta=b^{2}-4ac\\ \\ \Delta=\left(2 \right )^{2}-4\cdot \left(2 \right )\cdot \left(5 \right )\\ \\ \Delta=4-40\\ \\ \Delta=-36$


O valor mínimo desta função é dado por

$y_{\text{min}}=-\dfrac{\Delta}{4a}\\ \\ y_{\text{min}}=-\dfrac{\left(-36 \right )}{4 \cdot \left(2 \right )}\\ \\ y_{\text{min}}=\dfrac{36}{4 \cdot 2}\\ \\ y_{\text{min}}=\dfrac{9}{2}\\ \\ \boxed{y_{\text{min}}=4,5}$


Resposta: alternativa $\text{b) }4,5$.


(2) Resolvendo através da derivada da função:

$y=\left(x-1 \right )^{2}+\left(x+2 \right )^{2}\\ \\ \\ y'=2\cdot\left(x-1 \right )\cdot\left(x-1 \right )'+2\cdot\left(x+2 \right )\cdot \left(x+2 \right )'\\ \\ y'=2\cdot \left(x-1 \right )\cdot 1+2\cdot \left(x+2 \right )\cdot 1\\ \\ y'=2\cdot\left(x-1 \right )+2\cdot\left(x+2 \right )\\ \\ y'=2x-2+2x+4\\ \\ y'=4x+2$


Para encontrar o $x$, para o qual temos o valor mínimo da função, basta resolver a equação $y'=0$:

$y'=0\\ \\ 4x+2=0\\ \\ 4x=-2\\ \\ x=\dfrac{-2}{4}\\ \\ x=-\dfrac{1}{2}$


Substituindo este valor de $x$ encontrado na equação da função, temos o valor mínimo:

$y_{\text{min}}=y\left(-\dfrac{1}{2} \right )\\ \\ y_{\text{min}}=\left(-\dfrac{1}{2}-1 \right )^{2}+\left(-\dfrac{1}{2}+2 \right )^{2}\\ \\ y_{\text{min}}=\left(\dfrac{-1-2}{2} \right )^{2}+\left(\dfrac{-1+4}{2}\right )^{2}\\ \\ y_{\text{min}}=\left(-\dfrac{3}{2} \right )^{2}+\left(\dfrac{3}{2}\right )^{2}\\ \\ y_{\text{min}}=\dfrac{9}{4}+\dfrac{9}{4}\\ \\ y_{\text{min}}=\dfrac{18}{4}\\ \\ y_{\text{min}}=\dfrac{9}{2}\\ \\ \boxed{y_{\text{min}}=4,5}$


Resposta: alternativa $\text{b) }4,5$.