Question

O
valor mensal resultante da venda deste produto é V(x) = 3x2 − 12x e o custo mensal da
produção é dado por C(x) = 5x2 − 40x − 40. Sabendo que o lucro é obtido pela diferença
entre o valor resultante das vendas e o custo da produção, então o número de lotes
mensais que essa indústria deve vender para obter lucro máximo é igual a:

Answer 1

O número de lotes mensais será = 7

→ Temos equações do 2º grau que são do tipo: ax² + bx + c, com a≠0 e com b,c chamados coeficientes.

→ O ponto (x, y) do vertice da função é encontrado através da fórmula:

$\Large x_{v} = - \dfrac{b}{2a} ~~~~~e~~~~~ y_{v} = - \dfrac{\Delta}{4a}$

Vamos considerar as duas funções, onde x é a quantidade de Lotes:

Venda ⇒ V(x) = 3x² - 12x

Custo ⇒ C(x) = 5x² - 40x - 40

A diferença entre elas equivale ao lucro, então vamos chamá-lo de L(x)

L(x) = V(x) - C(x)

L(x) = (3x² - 12x) - (5x² - 40x - 40)

L(x) = -2x² + 28x + 40

Se essa função é o lucro, e x é a quantidade de lotes (produtos) vendidos, então:

⇒ Qual será o maior valor que essa função pode obter?

   R.: Pensando no gráfico, será exatamente no vértice

Então ficou fácil, basta calcularmos o valor de x no ponto do vértice.

L(x) = -2x² + 28x + 40    com a = -2,   b = 28,   c =40

$\large \text { x_{v} = - \dfrac{b}{2a} \implies-\dfrac{28}{2(-2)} \implies \dfrac{-28}{-4} \implies \boxed{x_{v} = 7} }$

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