Question

o valor máximo da funçao f(x) = 4senx + 3cosx, com x pertencente em R, é

a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7

Answer 1

$Seja \ f_{(x)} \ = \ N \ \cdot \ cos (x \ + \ \psi) \ (N \ > \ 0) \ \rightarrow \\ \\ 4 \ \cdot \ sen(x) \ + \ 3 \ \cdot \ cos(x) \ = \ N \ \cdot \ \underbrace{cos (x \ + \ \psi)}_{soma \ de \ arcos} \ \rightarrow \\ \\ \\ 4 \ \cdot \ sen(x) \ + \ 3 \ \cdot \ cos(x) = N \cdot (cos(x) \cdot cos(\psi) - sen(x) \cdot sen(\psi)) \ \rightarrow \\ \\ 4 \cdot sen(x) \ + \ 3 \cdot cos(x) = N \cdot cos(x) \cdot cos(\psi) - N \cdot sen(x) \cdot sen(\psi)) \ \rightarrow$

$Igualando \ os \ par\^ametros \ : \\ \\ 4 \ \cdot \ \not{sen(x)} \ = \ - N \ \cdot \ \not{sen(x)} \ \cdot \ sen(\psi) \ \rightarrow \\ \\ \boxed{N \ \cdot \ sen(\psi) \ = \ -4} \\ \\ 3 \ \cdot \ \not{cos(x)} \ = \ N \ \cdot \ \not{cos(x)} \ \cdot \ cos(\psi) \ \rightarrow \\ \\ \boxed{N \ \cdot \ cos(\psi) \ = \ 3}$

$Elevando \ cada \ uma \ ao \ quadrado \ : \\ \\ (N \ \cdot \ sen(\psi))^2 \ = \ (-4)^2 \ \rightarrow \\ \\ \boxed{N^2 \ \cdot \ sen^2(\psi) \ = \ 16} \\ \\ (N \ \cdot \ cos(\psi))^2 \ = \ (3)^2 \ \rightarrow \\ \\ \boxed{N^2 \ \cdot \ cos^2(\psi) \ = \ 9}$

$Somando \ as \ express\~oes \ : \\ \\ \left \{ {N^2 \ \cdot \ sen^2(\psi) \ = \ 16} \atop {N^2 \ \cdot \ cos^2(\psi) \ = \ 9}} \right. + \ \Rightarrow \\ \\ N^2 \ \cdot \ \underbrace{(sen^2(\psi) \ + \ cos^2(\psi))}_{Rela\c{c}\~ao \ Fundamental \ = \ 1} \ = \ 16 \ + \ 9 \ \rightarrow \\ \\ \\ N^2 \ = \ 25 \ \rightarrow \\ \\ N \ = \ \sqrt{25} \ \rightarrow \\ \\ \boxed{N \ = \ + \ 5} \ (N \ \ \textgreater \ \ 0)$

$f_{(x)} \ = \ 5 \ \cdot \ cos (x \ + \ \psi) \ \rightarrow \\ \\ f_{(x)} \ tem \ o \ seu \ m\'aximo \ quando \ cos (x \ + \ \psi) \ \'e \ m\'aximo \ \Rightarrow \\ \\ f_{(x)}^{(max)} \ = \ 5 \ \cdot \ \underbrace{cos (x \ + \ \psi)}_{max \ = \ 1} \ \rightarrow \\ \\ f_{(x)}^{(max)} \ = \ 5 \ \cdot \ 1 \ \rightarrow \\ \\ \boxed{\boxed{f_{(x)}^{(max)} \ = \ 5}} \ \bold{\Rightarrow \ Alternativa \ 'c)'!}$