Question

O valor lim┬(n→∞)⁡〖(√(x^2+x+1)-√(x^2-x+1))^ 〗de é a) 0. b) 1. c) 2. d) 3. e) ∞.

Answer 1

Existem alguns macetes para limites quando x tende ao infinito.

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+x+1} - \sqrt{x^2-x+1 } )$

Se substituirmos x por infinito, dará $\infty - \infty$, ou seja, indeterminação. Então precisamos usar alguma manipulação algébrica para resolvê-lo.

Faremos o seguinte, vamos multiplicar "em cima" e "em baixo" pelo conjugado da expressão, ficando da seguinte forma :

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+x+1} - \sqrt{x^2-x+1 } )$

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+x+1} - \sqrt{x^2-x+1 } ).\frac{(\sqrt{x^2+x+1}+ \sqrt{x^2-x+1})}{(\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2-x+1})}$

Note que numerador ficará aquele produto notável

$(a-b).(a+b) = a^2 -b^2$ , no caso

a = $(\sqrt{x^2+x+1})$  e b = $\sqrt{x^2-x+1 }$. Então já vou substituir direto :

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+x+1} - \sqrt{x^2-x+1 } ).\frac{(\sqrt{x^2+x+1}+ \sqrt{x^2-x+1})}{(\sqrt{x^2+x+1}+\sqrt{x^2-x+1})}$

$\lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{x^2+x+1})^2 - (\sqrt{x^2-x+1})^2}{(\sqrt{x^2+x+1} +\sqrt{x^2-x+1}) }$

$\lim_{x \to \infty} \frac{(x^2+x+1) - (x^2-x+1)}{(\sqrt{x^2+x+1} +\sqrt{x^2-x+1})}$

$\lim_{x \to \infty} \frac{2x}{(\sqrt{x^2+x+1} +\sqrt{x^2-x+1})}$

Agora no denominador, vamos colocar o $x^2$ em evidência e tirá-lo da raiz.

$\lim_{x \to \infty} \frac{2x}{(\sqrt{x^2(1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2})} +\sqrt{x^2(1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}})}$

$\lim_{x \to \infty} \frac{2x}{|x|.\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}+|x|.\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}}$

Coloca o x em evidência no denominador.

$\lim_{x \to \infty} \frac{2x}{x.(\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}) }$

Podemos simplificar o x do numerador com o x do denominador. ficando :

$\lim_{x \to \infty} \frac{2}{(\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}) }$

Agora podemos substituir $x = \infty$ .

$\frac{2}{(\sqrt{1+\frac{1}{\infty}+\frac{1}{\infty^2}}+\sqrt{1-\frac{1}{\infty}+\frac{1}{\infty^2}}) }$

Sabendo que em uma fração $\frac{k}{x}$ quando o x tende ao infinito, a expressão tende a ser 0, ou seja,

$\lim_{n \to \infty} \frac{k}{x}$ ⇒ $\frac{k}{ \infty } = 0$. Sabendo disso, a nossa expressão ficará da seguinte forma :

$\frac{2}{(\sqrt{1+\frac{1}{\infty}+\frac{1}{\infty^2}}+\sqrt{1-\frac{1}{\infty}+\frac{1}{\infty^2}}) }$

$\frac{2}{(\sqrt{1+0+0}+\sqrt{1-0+0}) }$ ⇒ $\frac{2}{\sqrt{1}+\sqrt{1}}$ ⇒ $\frac{2}{1+1 }$

⇒ 1  

Letra b