Question

O valor do número real k para que a soma dos quadrados das raízes da equação
x2 - 8x + k = 0 seja 52 é:

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

Answer 1

Seja a equação x^2-8x+k = 0 , com k real, e a,b números reais que a tornam verdadeira (ou seja, a e b são as raízes).

Queremos saber o valor de k para que a^2 +b^2 = 52. Note que :

a^2+b^2 = (a+b)^2 - 2ab

Temos,no caso, que a+b = 8 (pela fórmula da soma das raízes de uma equação do segundo grau) e ab=k (pela fórmula do produto das raízes).

Daí:

8^2-2k=52 => 64-2k=52 <=> k=6

Item b)

^ = elevado a

Answer 2

Considerando a equação quadrática dada, temos que k é igual a 6, alternativa b.

O que é uma equação quadrática?

Uma equação de segundo grau ou equação quadrática é uma equação da forma:

ax^2 + bx + c = 0

Onde a, b e c são constantes reais e x é a variável da equação.

Soma e produto das raízes

Um número real r é chamado de raiz de uma equação quadrática se ela satisfaz a igualdade ar^2 + br + c = 0.

A soma das raízes de uma da equação ax^2 + bx + c = 0 é igual a -b/a e o produto das raízes possui valor igual a c/a.

Queremos que a soma dos quadrados das raízes da equação x^2 - 8x + k seja 52, denotando por x_1 e x_2 as raízes, temos que:

$(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1 x_2 + x_2^2\\x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2\\52 = (-\frac{b}{a})^2 - 2\frac{c}{a}\\52 = (- \frac{-8}{1})^2 - 2 \dfrac{k}{1}\\52 = 64 - 2k\\2k = 12\\k = 6$

O valor de k é igual a 6, alternativa b.

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