Question

O valor de y(2); em que y(x) é a solução do problema de valor inicial: $y^{l} -2xy=0,$ , com y(3)= e, é igual a e elevado a .......


a) 0


b) - e


c) - 4


d) 2


e) 1

Answer 1

Seja y=$f(x)$. Para uma EDO da forma $y'+P(x)\cdot y=Q(x)$ e condição $f(a)=b$, devemos saber que a solução é da forma:

$f(x)=be^{-A(x)}+e^{-A(x)}\displaystyle\int_a^x Q(t)\cdot e^{A(t)}dt$, onde $A(x)=\displaystyle\int_a^{x}P(t)\,dt$

A equação dada apresenta:

$y'-2xy=0$

$\underbrace{f(3)}_{a=3}=\underbrace{e}_{b=e}$,  $P(x)=-2x$ e $Q(x)=0$

Dessa forma, substituindo os dados que temos, vamos encontrar primeiro A(x):

$A(x)=\displaystyle\int^x_a P(t)\,dt\\\\ A(x)=\displaystyle\int^x_3 (-2t)\,dt\\\\ A(x)=-2\displaystyle\int^x_3 t\,dt\\\\ A(x)=-2\displaystyle\left[\frac{t^2}{2}\right]^x_3\\\\ A(x)=-[t^2]^x_3\\\\ A(x)=-[x^2-3^2]\\\\ A(x)=9-x^2$

Agora, vamos encontrar f(x):

$f(x)=be^{-A(x)}+e^{-A(x)}\displaystyle\int_a^x Q(t)\cdot e^{A(t)}dt\\\\ f(x)=e\cdot e^{-(9-x^2)}+e^{-(9-x^2)}\underbrace{\displaystyle\int_3^x 0\cdot e^{9-x^2}dt}_{=0}\\\\ f(x)=e\cdot e^{-(9-x^2)}\\\\ f(x)=e^1\cdot e^{x^2-9}\\\\ f(x)=e^{x^2-9+1}\\\\ \boxed{f(x)=e^{x^2-8}}$

Logo, o valor de f(2) é:

$f(x)=e^{x^2-8}\\\\ f(2)=e^{2^2-8}\\\\ f(2)=e^{4-8}\\\\ \boxed{\boxed{f(2)=e^{-4}}}\Longrightarrow \text{Letra }\bold{C.}$