Question

O valor de y(2), em que y(x) é a solução do problema de valor inicial :$y^{I} -2xy=0,$ com y(3)=0 e, é igual a e $elevado$ a ......


a) 0


b) - e


c) - 4


d) 2


e) 1

Questão original em anexo;

Answer 1

Vamos desenvolver a equação dada:

$y'-2xy=0\\\\ y'=2xy\\\\ \dfrac{y'}{y}=2x$

Logo, a equação é separável. Continuando a desenvolvê-la:

$\dfrac{y'}{y}=2x\\\\ \displaystyle\int \dfrac{dy}{y}=\int 2x\,dx\\\\ \displaystyle\int \dfrac{dy}{y}=2\int x\,dx\\\\ \ln(y)=2\cdot\dfrac{x^2}{2}+C\\\\ \ln(y)=x^2+C~~(i)$

Usando a condição $y(3)=e$ em (i), podemos descobrir o valor da constante:

$\ln(y)=x^2+C\\\\ \ln(e)=3^2+C\\\\ 1=9+C\\\\ C=-8$

Substituindo o valor obtido acima na expressão (i):

$\ln(y)=x^2+C\\\\ \ln(y)=x^2-8\\\\ \underline{\overline{y(x)=e^{x^2-8}}}$

Agora podemos descobrir o valor de $y(2)$:

$y(x)=e^{x^2-8}\\\\ y(2)=e^{2^2-8}\\\\ y(2)=e^{4-8}\\\\ \boxed{y(2)=e^{-4}}\Longrightarrow\text{Letra }\bold{C.}$