Question

O valor de x que satisfaz a equação (x -17) + (x -13) + ( x- 9) +.... (x + 31) = 169 é:

resposta gabarito: 6

Answer 1

Resposta:

6

Explicação passo-a-passo:

Podemos ver que temos a soma dos termos de uma progressão aritmética, já que cada termo é o seu anterior mais 4.

Fórmula geral dos termos da P.A.: $A_n = A_1 +(n-1).r$

A_n = n-ésimo termo

A_1 = Primeiro termo

r = Razão

n = Termo

Sabemos que o primeiro termo é ( x -17), o último termo que não sabemos qual é termo é, ou seja, o n-ésimo termo é ( x +31) e a razão é 4. Com isso, podemos saber qual a posição do último termo ( x +31):

( x +31) = ( x -17) + ( n -1).4

x +31 -x +17 = ( n -1).4

48 = (n -1).4

n -1 = 48/4

n -1 = 12

n = 13

Sabendo que o último termo ocupa a posição de número 13, podemos realizar uma soma dos 13 termos dessa P.A.:

Fórmula da soma dos termos da P.A.: $S_n = (a_1+a_n).n/2$

S_n = Soma de n termos

A_1 = Primeiro termo

A_n = n-ésimo termo

n = termo

Agora, organizando a fórmula:

$S_{13} = (a_1+a_{13}).13/2$

Sabemos que o primeiro termo é ( x -17), o décimo terceiro termo é ( x +31) e a soma desses 13 termos é 169, agora só aplicar isso na fórmula e resolver:

$S_{13} = ((x-17)+(x+31)).13/2\\169 = (2x+14).13/2\\169 = 26x+182/2\\169 = 13x +91\\13x = 169 -91\\13x = 78\\x = 78/13\\x = 6$

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