O valor de X que é solução da equação log2 + log(X + 1)- logX = 1
Soluções para a tarefa
Vamos lá.
Veja, Cardoso, que a resolução parece simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.
i) Pede-se o valor de "x" que é solução da seguinte expressão logarítmica:
log₁₀ (2) + log₁₀ (x+1) - log₁₀ (x) = 1 ------ Vamos passar "-log₁₀ (x)" para o 2º membro, ficando assim:
log₁₀ (2) + log₁₀ (x+1) = 1 + log₁₀ (x) ---- note que "1" poderá ser substituído por log₁₀ (10), pois quando o logaritmando é igual à base o seu logaritmo sempre é igual a "1". Assim, ficaremos:
log₁₀ (2) + log₁₀ (x+1) = log₁₀ (10) + log₁₀ (x) . (I)
Vamos deixar a expressão (I) "guardada" aí em cima, pois daqui a pouco iremos recorrer a ela. Vamos apenas impor as condições de existência à expressão logarítmica acima. Note que só há logaritmos de números positivos. Então deveremos impor que os logaritmandos que estiverem com incógnita deverão ser maiores do que zero. Assim, teremos:
- Para o logaritmando (x+1):
x + 1 > 0
x > -1 ----- Esta é uma primeira condição de existência.
- Para o logaritmando (x):
x > 0 ---- esta é uma segunda condição de existência.
Agora veja: entre "x" ser maior do que "-1" e ser maior do que "0", então vai prevalecer a condição de existência de x > 0, pois sendo "x" maior do que zero já o será maior do que "-1", concorda? Então a condição de existência será:
x > 0 ----- Esta será a única condição de existência para a expressão logarítmica da sua questão.
ii) Agora vamos continuar trabalhando com a expressão (I), que deixamos "guardada" logo acima, e que é esta:
log₁₀ (2) + log₁₀ (x+1) = log₁₀ (10) + log₁₀ (x) ---- vamos aplicar uma das propriedades logarítmicas, que é transformar a soma em produto. Fazendo isso, teremos:
log₁₀ (2*(x+1)) = log₁₀ (10*x) ---- efetuando os produtos indicados nos logaritmandos dos dois membros, iremos ficar com:
log₁₀ (2x+2) = log₁₀ (10x) ----- como as bases são iguais, então poderemos igualar os logaritmandos. Assim:
2x + 2 = 10x ---- passando "2x" do 1º para o 2º membro, teremos:
2 = 10x - 2x ------ como "10x-2x = 8x", teremos:
2 = 8x ---- vamos apenas inverter, o que dá no mesmo:
8x = 2 ---- isolando "x", teremos:
x = 2/8 ---- simplificando-se numerador e denominador por "2", teremos:
x = 1/4 <--- Esta é a resposta. Ou seja, o valor de "x" que é solução da expressão da sua questão é x = 1/4.
Se você quiser, poderá apresentar o conjunto-solução {x} da seguinte forma:
S = {1/4}.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.