Matemática, perguntado por Thiago500p, 6 meses atrás

O valor de x para que os pontos A(x2), B(2,4) e C( 5, 10) seja colineares é:
Calculo necessário, por gentileza
A) 1
B) 2
C) 3
D)4
E)5

Soluções para a tarefa

Respondido por Nasgovaskov

A alternativa que corresponde o valor de x para que os pontos A, B e C sejam colineares é a letra a) x = 1.

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Dado três pontos, A(x , 2), B(2 , 4) e C(5 , 10), para sejam colineares, isto é, para que pertençam à mesma reta, o determinante formado por estes três pontos deve ser igual a zero.

Para montar esse determinante, faremos da seguinte forma:

$\Large\qquad\begin{array}{l}\sf\left|\begin{array}{ccc}\sf x_a&\sf y_a&1\\\sf x_b&\sf y_b&\sf1\\\sf x_c&\sf y_c&\sf1\end{array}\right|=0\end{array}\\\\$

Onde nos dois primeiros elementos da

primeira linha: se situam as coordenadas do ponto A;
segunda linha: se situam as coordenadas do ponto B;
terceira linha: se situam as coordenadas do ponto C.

E por fim fazemos uma coluna de números um para que seja 3x3.

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Prosseguindo, temos que:

$\begin{array}{l}\qquad\quad\ \ \sf\left|\begin{array}{ccc}\sf x_a&\sf y_a&1\\\sf x_b&\sf y_b&\sf1\\\sf x_c&\sf y_c&\sf1\end{array}\right|=0\\\\\sf\iff~~~\left|\begin{array}{ccc}\sf x&\sf2&1\\\sf2&\sf4&\sf1\\\sf5&\sf10&\sf1\end{array}\right|=0\end{array}$

Agora usamos a Regra de Sarrus, onde repetimos as duas primeiras colunas, fazemos a soma do produto de uma diagonal (principal) e subtraímos da soma do produto de outra diagonal (secundária):

$\begin{array}{l}\sf\qquad\quad \ \ \left|\begin{array}{ccc}\sf x&\sf2&1\\\sf2&\sf4&\sf1\\\sf5&\sf10&\sf1\end{array}\right|\begin{matrix}\sf x&\sf2\\\sf2&\sf4\\\sf5&\sf10\end{matrix}=0\\\\\sf\iff~~~x.4.1+2.1.5+1.2.10-(1.4.5+x.1.10+2.2.1)=0\\\\\sf\iff~~~4x+10+20-(20+10x+4)=0\\\\\sf\iff~~~4x+30-(24+10x)=0\\\\\sf\iff~~~4x+30-24-10x=0\\\\\sf\iff~~-6x+6=0\\\\\sf\iff~~~6x-6=0\\\\\sf\iff~~~6x=6\\\\\sf\iff~~~x=\dfrac{~6~}{6}\\\\\quad\!\therefore\quad~~\boldsymbol{\boxed{\sf x=1}}\end{array}\\\\$