Question

O valor de x nas equações exponenciais
A) 3x+1 +3x -1=90
B) (2x)=16
C) 2x+1 +2x-2 =9/2

Answer 1

A) $3^{x+1} + 3^{x-1}=90 \\ 3^{x}.3^{1} +3^{x}.3^{-1} =90 \\ 3^{x}.(3+\frac{1}{3}=90 \\ 3^{x}.\frac{10}{3} \\=90 \\ 3^{x}.10=30 \\ 3^{x}=3^{1} \\ x=1$
B) $2^{x}=16 \\ 2^{x}=2^{4} \\ x=4$
C) $2^{x+1}.2^{x-2}=\frac{9}{2} \\ 2^{x}.(2^{1}+2^{-2})=\frac{9}{2} \\ 2^{x}.(2+\frac{1}{4})=\frac{9}{2} \\ 2^{x}.(\frac{9}{4})=\frac{9}{2} \\ 2^{x}=\frac{9}{2}.\frac{4}{9} \\ 2^{x}=2 \\ x=1$

Answer 2

a)
$3^{x+1}+3^{x-1}=90\\\\ 3^x\cdot3+3^x\cdot3^{-1}=90\\\\ 3\cdot3^x+\dfrac{3^x}{3}=90$

Seja y tal que $y=3^x$. Substituindo na equação acima:

$3y+\dfrac{y}{3}=90\\\\ 9y+y=270\\\\ 10y=270\\\\ y=27$

Voltando à expressão com x:

$y=27\\\\ 3^x=3^3\\\\ \boxed{x=3}$

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b)
$2^x=16\\\\ 2^x=2^4\\\\ \boxed{x=4}$

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c)
$2^{x+1}+2^{x-2}=\dfrac{9}{2}\\\\ 2^x\cdot2+2^x\cdot2^{-2}=\dfrac{9}{2}\\\\ 2\cdot2^x+2^x\cdot\dfrac{1}{2^2}=\dfrac{9}{2}\\\\ 2\cdot2^x+\dfrac{2^x}{4}=\dfrac{9}{2}$

Vamos fazer uma substituição. Seja y tal que $y=2^x$. Usando na equação acima:

$2y+\dfrac{y}{4}=\dfrac{9}{2}\\\\ \dfrac{2y\cdot4}{4}+\dfrac{y}{4}=\dfrac{9\cdot2}{4}\\\\ 8y+y=18\\\\ 9y=18\\\\ y=\dfrac{18}{9}\\\\ y=2$

Voltando à expressão com x:

$2^x=y\\\\ 2^x=2\\\\ 2^x=2^1\\\\ \boxed{x=1}$