Question

o valor de um imóvel cresce exponencialmente, de modo que, daqui a t anos, ele será dado V(t) = A.e(elevado, a kt). Hoje, o imóvel vale 120.000,00 e, daqui a dois anos 160.000,00 Qual será o valor do imóvel daqui a 6 anos, a contar de hoje? e daqui a 10 anos, a contar de hoje?​

Answer 1

Resposta:

v(6) = 284.444,44

v(10) = 505.679,00

Explicação passo a passo:

V(t) = A^kt

Vamos usar os valores dados:

Hoje t = 0, V(o) será igual a 120.000,00

V(0) = A^kt

120.000 = A.e^kt (Primeira equação)

Em dois anos t = 2, teremos V(2) igual a:

160.000 = Ae^k2 (Segunda equação)

A pergunta deseja saber os valores de V(6) e V(10). Para isso precisamos primeiro encontrar as incógnitas A, "e" e k, usando as equações anteriores:

120.000 = A . e^k.0

Nessa primeira equação podemos encontrar o valor e A, pois como k . 0 = 0, teremos e^0, todo número elevado a zero sempre será igual a 1.

Assim, temos e^0 = 1. Logo, temos que:

120.000 = A . 1

A = 120.000 (assim, A = ao valor inicial do imóvel)

Usando a segunda equação, substituindo A = 120.000 para encontrar "e" e "k"

160.000 = A . e^k2

160.000 = 120.000 . e^2k

160000/120000 = e^2k

4/3 = e^2k

Veja que e^2k = 4/3

Agora usaremos isso para encontrar o valor de v(6):

V(6) = A . e^6k

A = 120.000

e^2k = 4/3

Vamos relembrar a propriedade de multiplicações de potências com a mesma base para resolver essa questão. Lembre que:

2⁴ . 2³ = 2⁷ (repete-se a base 2 e soma-se os expoentes) usando está propriedade, podemos considerar que o e^6k equivale a:

e^6k = e^2k . e^2k . e^2k (repete-se a base "e" e soma-se os expoentes)

Assim, temos que:

e^6k = 4/3 . 4/3 . 4/3

e^6k = 64/27

Assim, substituindo em V(6):

V(6) = 120.000 , 64/27

V(6) = 284.444,44

Agora, podemos encontrar o V(10), usando o mesmo raciocínio:

V(10) = A . e^k10

Onde,

A = 120.000

e^k10 = e^k2 . e^k2 . e^k2 . e^k2 . e^k2

e^k10 = 4/3 . 4/3 . 4/3 . 4/3 . 4/3

e^k10 = 1024/243

Assim, temos:

V(10) = 120.000 . 1024/243

V(10) = 505.679 (valor arredondado)