Question

O valor de um determinado automóvel daqui a t anos será v = 2000. (0,75) t dólares. Daqui a quantos anos ele passará a valer a metade do que ele vale hoje? (adote log 2 = 0,3 e log 3 = 0,48).

Answer 1

Para o automóvel  passará a valer a metade do que ele vale hoje em

$\Large\text{ \boxed{\boxed{2{,}5~Anos}} }$

Mas, como chegamos nessa resposta?

Equação exponencial

Bem temos uma função que diz o valor do automóvel com o passar do anos

$V = 2000\cdot (0{,}75)^T$

Sendo V igual a valor e T igual a Anos, A questão quer saber em quanto tempo o valor do Automóvel vai ser a metade do que ele vale hoje

Primeiro temos que saber quanto ele vale Hoje, então o Tempo que passou é 0. Substituindo na função temos

• Lembre-se que qualquer número elevado a 0 é 1

$V = 2000\cdot (0{,}75)^T\\\\V = 2000\cdot (0{,}75)^0\\\\V = 2000\cdot 1\\\\\boxed{V=2000R\ }$

Então concluirmos que o valor do automóvel hoje em dia é de 2000R$

Como  a questão quer saber a metade do valor de hoje basta dividirmos 2000 por 2

• Metade é a mesma coisa de dividir por 2

$2000\div 2= \boxed{1000R\ }$

Agora que temos o valor basta vermos em quantos anos leva para isso acontecer

Mas, antes de começarmos vamos  relembrar algumas propriedades do Logaritmos

• Multiplicação no logaritmando

$Log(3\cdot 2)= Log(3)+ Log(2)$

• Divisão no logaritmando

$Log\left(\dfrac{3}{2} \right)= Log(3)-Log(2)$

• Propriedade do Logaritmo

$X^T=Y\\\\Log(X)^T=Log(Y)\\\\\boxed{T\cdot Log(X)=Log(Y)}$

Com isso em mente vamos responder a questão V=1000

$V = 2000\cdot (0{,}75)^T\\\\1000 = 2000\cdot (0{,}75)^T\\\\\\\dfrac{1000}{2000}=(0{,}75)^T\\ \\\\\boxed{\dfrac{1}{2} =(0{,}75)^T}$

Vamos deixar 0,75 em forma fracionaria para facilitar o nosso problema

Lembre-se que

$0{,}75= \dfrac{3}{4}$

$\dfrac{1}{2} =(0{,}75)^T\\\\\\\boxed{\dfrac{1}{2} =\left(\dfrac{3}{4}\right) ^T}$

Aplicando o Logaritmo temos

$\dfrac{1}{2} =\left(\dfrac{3}{4}\right) ^T\\\\\\Log\left(\dfrac{1}{2}\right) =Log\left(\dfrac{3}{4}\right) ^T\\\\\\Log\left(\dfrac{1}{2}\right) =T\cdot Log\left(\dfrac{3}{4}\right) \\\\\\\boxed{T=\dfrac{Log\left(\dfrac{1}{2}\right) }{ Log\left(\dfrac{3}{4}\right)} }$

Agora para resolver essa questão temos que saber algumas coisas

$Log(1)= 0\\\\Log(2)= 0{,}3\\\\Log(3)=0{,}48\\\\Log(4)= 2\cdot Log(2)$

Agora vamos resolver a equação

$T=\dfrac{Log\left(\dfrac{1}{2}\right) }{ Log\left(\dfrac{3}{4}\right)} \\\\\\T=\dfrac{Log(1)-Log(2) }{ Log(3)- \left(Log(2)+Log(2)\right)} \\\\\\T=\dfrac{0-0{,}3 }{ 0{,}48- \left(0{,}3+0{,}3\right)} \\\\\\T=\dfrac{-0{,}3 }{ 0{,}48- 0{,}6} \\\\\\T=\dfrac{-0{,}3 }{ -0{,}12} \\\\\\\boxed{T=2{,}5}$

Ou seja o tempo que demora para isso acontecer é 2,5 Anos

Aprenda mais sobre equação exponencial aqui:

https://brainly.com.br/tarefa/25310442

#SPJ4