Question

O valor de um aparelho se deprecia (desvaloriza) a uma taxa de 6% ao ano. Sabendo que o valor no ato da compra desse aparelho é R$ 9.800,00, determine: O valor desse aparelho após 5 anos decorridos da aquisição. Determine o número de anos decorridos para que esse aparelho atinja a metade do valor pelo qual ele foi obtido. Apresente sua resposta arredondando com duas casas decimais (porém, use sua calculadora e desenvolva os cálculos sem arredondamentos, ou seja, deixe para arredondar somente quando chegar à resposta).

Answer 1

A depreciação do aparelho pode ser descrita por uma fórmula, fazendo a análise abaixo. Sendo x o valor do aparelho e t o tempo:
- Após um ano, o valor cai em 6%, ou seja, o aparelho vale (1 - 0,06) vezes o seu valor inicial. Portanto x = 9800*(1-0,06)
- Após outro ano, o valor cai em 6% novamente, mas do valor anterior e não do valor inicial, então x = 9800*(1-0,06)*(1-0,06) = 9800*(1-0,06)²


Perceba que a cada ano que passa, multiplicamos o valor inicial por (1-0,06) t vezes, sendo t o tempo passado. Então o valor do aparelho ao longo do tempo será dado por:
$x = 9800(1-0,06)^t$


Após 5 anos, o valor do aparelho será de:
$x = 9800(1-0,06)^5 \\ x = R\ 7192,26$


Para saber o tempo que o valor do aparelho leva para atingir metade do seu valor inicial, basta igualar x a 4900:
$4900 = 9800(1-0,06)^t \\ \\ 0,5 = 0,94^t$


Para isolar t, precisamos aplicar o logaritmo de base 0,94 nos dois lados da igualdade. Pela propriedade dos logaritmos, temos que:
$log_B(x) = \dfrac{log_{10}(x)}{log_{10}(B)}$


Então:
$log_{0,94}(0,5) = \dfrac{log_{10}(0,5)}{log_{10}(0,94)} \\ \\ log_{0,94}(0,5) = 11,2023$


Agora:
$log_{0,94}(0,5) = log_{0,94}(0,94^t) \\ \\ 11,20 = t$


Então, após 11,2 anos, o valor do produto passa a ser a metade do valor inicial.