Question

O valor de $\Large\log_{x}\left(x\sqrt{x} \right)$ é?

Answer 1

Usando as propriedades do logaritmo podemos concluir que o valor desse Log é

$\large\dfrac{3}{2}$

Mas, como chegamos nessa resposta?

Temos o seguinte Log

$\large\log_{x}\left(x\sqrt{x} \right)$

Perceba que podemos simplificar  o Logaritmando com as propriedade da potência  

$\large\text{ \boxed{\sqrt[A]{B^C}= B^{\frac{C}{A} }} }$

$\large\text{ \boxed{A^B\cdot A^C=A^{B+C}} }$

Então no logaritmando veja que temos $X\sqrt{X}$ podemos reescrever essa raiz como um expoente

$X\sqrt{X}\Rightarrow X\cdot X^{\frac{1}{2} }$

E agora temos multiplicação de potencia com a mesma Base,

$\large\text{ X^1\cdot X^{\frac{1}{2} }\Rightarrow X^{1+\frac{1}{2} }\Rightarrow X^{\frac{3}{2} } }$

Ou seja podemos podemos reescrever nosso logaritmo como

$\large\text{ \log_{x}\left(x\sqrt{x} \right)\Rightarrow \boxed{\log_{x}\left(x^{\frac{3}{2} }\right)} }$

E agora basta nos lembrar de uma propriedade do Logaritmo bem famosa

$\large\log_{x}\left(x^a\right)\Rightarrow a\cdot \log_{x}\left(x\right)$( Podemos passar o valor que está elevando o logaritmando multiplicando  o Log)

$\large\text{ \boxed{\log_{x}\left(x\right)=1} }$   (Qualquer logaritmo que tenha a mesma base é  o mesmo logaritmando tem o valor de 1)

Assim nosso problema fica

$\large\text{ \log_{x}(x^{\frac{3}{2} })\Rightarrow \frac{3}{2}\cdot \log_{x}(x)\Rightarrow \frac{3}{2} \cdot 1 \Rightarrow \boxed{\dfrac{3}{2}} }$

Assim concluímos que

$\large\log_{x}\left(x\sqrt{x} \right)= \dfrac{3}{2}$

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