Question

O valor de $(1 + \dfrac{1}{19})(1 + \dfrac{1}{20})(1 + \dfrac{1}{21}) ... (1 + \dfrac{1}{2013})$ é
a)103 b)104 c)105 d)106 e)107

Answer 1

Vai tirando o mmc em cada sequência, vou colocar direto:

(1+1/19)(1+1/20)(1+1/21)...(1+1/2013)
(20/19)(21/20)(22/21)...(2014/2013)

Se você reparar, é uma multiplicação em que os termos anteriores de cima vão se anular com os próximos termos de baixo (no denominador)

(20/19)(21/20)(22/21) Aqui por exemplo, o 20 em cima será simplifcado com o 20 embaixo e o 21 a mesma coisa, o 22 assim em diante.

Fazendo isso em todas, restará apenas:

(1/19)(2014) = 2014/19 = 106

Answer 2

Explicação passo-a-passo:

Produto Finito :

Dado o produto :

$\mathsf{ P~=~\Big(1+\dfrac{1}{19} \Big) \Big(1+\dfrac{1}{20} \Big) \Big( 1 + \dfrac{1}{21} \Big)... \Big(1+\dfrac{1}{2013} \Big) }$

Perceba que :

$\mathsf{P~=~ \Big(\dfrac{1}{1}+\dfrac{1}{19} \Big) \Big( \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{20} \Big) \Big( \dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{21} \Big)...\Big( \dfrac{1}{1} +\dfrac{1}{2013} \Big) }$

Adotando :

$\boxed{\mathsf{\dfrac{a}{b}\pm\dfrac{c}{d}~=~\dfrac{ad\pm bc}{bd} }}}}$

Vamo lá !..

$\mathsf{P~=~\Big( \dfrac{1.19+1.1}{19.1} \Big) \Big( \dfrac{1.20+1.1}{20.1} \Big) \Big(\dfrac{1.21+1.1}{21.1} \Big)... \Big(\dfrac{1.2013+1.1}{2013.1} \Big) }$

$\mathsf{P~=~\dfrac{\cancel{20}}{19}.\dfrac{\cancel{21}}{\cancel{20}}.\dfrac{\cancel{22}}{\cancel{21}}...\dfrac{2014}{\cancel{2013}} }$

$\mathsf{P~=~\dfrac{1}{\cancel{19}}.\cancel{2014} }$

$\mathsf{\red{P~=~106}}$

Boa interpretação !)